Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử

 Nguồn: thuvienvatly.com
Sưu tầm: C.R

LỜI NÓI ĐẦU

1. Mục đích của quyển sách này là gì?

Để truyền tải đến độc giả mức độ nhận thức toán học cao nhất và giới thiệu những thành tựu toán học xuất sắc.

2. Những thành tựu toán học vừa nói là những thành tựu nào?

Trước hết là sự đa dạng hóa của toán học, tức là trước đây chúng ta có hình học, nay chúng ta có các loại hình học, và các loại đại số thay cho đại số. và các hệ thống số thay cho hệ thống số.

Một số thành tựu khác bao gồm:

Lí thuyết phương trình đại số của Galois;

Định lí không hoàn hảo của Godel;

Chuỗi Fourier và những tập hợp vô hạn;

Lí thuyết nhóm; ma trận; giải tích số phức;

Topo học; giải tích hàm;

Vân vân.

3. Quyển sách này nhắm tới đối tượng độc giả nào?

Nó dành cho những người không chuyên hiếu kì muốn tìm kiếm những câu hỏi nhanh đáp gọn và không muốn sa vào nghiên cứu chi tiết các khái niệm và quan điểm toán học.

4. Nó có yêu cầu gì đối với độc giả trẻ tuổi hay không?

Có. Ở đây, độc giả trẻ cần có một chút cái nhìn toán học vượt ngoài cái họ đã học ở trường.

5. Có phải quyển sách này dự định thay thế cho sách giáo khoa không?

Không hề. Mục tiêu là rất khiêm tốn. Đó là thôi thúc độc giả tiếp tục tìm hiểu những vấn đề được trình bày ở đây.

6. Quyển sách này có sức hút đối với nhà toán học hay không?

Một nhà toán học thường bị trói buộc với một lĩnh vực riêng và hạn chế. Quyển sách này sẽ cung cấp cho anh ta một cái nhìn tổng quát của toán học.

Quyển sách này cũng sẽ hỗ trợ anh ta tìm kiếm câu trả lời cho những mơ hồ triết lí trong toán học. Nhân thể, mỗi môn học luôn có những mơ hồ như thế.

7. Quyển sách chia làm ba phần chính. Có cần đọc chúng theo thứ tự hay không?

Không cần thiết. Muốn đọc phần nào trước cũng được.

Cũng không cần thiết đọc tuần tự từng câu hỏi trừ khi chúng thu hút người đọc. Nếu có cái gì đó kém hấp dẫn hoặc không thu hút thì bạn có thể bỏ qua.

Bạn có thể lật lại đọc câu hỏi cũ nếu bạn thấy nó còn hấp dẫn.

8. Tại sao tác giả lại chọn kiểu trình bày hỏi-đáp?

Bởi vì trình bày dài dòng sẽ khiến độc giả phổ thông mau chán, còn dạng hỏi-đáp sẽ giữ được sự chú ý của anh ta.

9. Các câu hỏi tuần tự nhau theo khuôn mẫu gì?

Trong chừng mực logic có thể thôi, nghĩa là một câu hỏi hoặc được đề xuất hoặc phát sinh từ câu hỏi trước đó, hoặc có thể chẳng có liên quan gì.

10. Phong cách trình bày theo kiểu gì?

Các câu trả lời đơn giản, minh bạch và dùng ngôn ngữ dễ hiểu, và càng ngắn gọn càng tốt.

11. Nhưng nếu thỉnh thoảng có những câu trả lời chi tiết không thể tránh khỏi thì sao?

Trong những trường hợp như thế, câu trả lời được chia thành những đoạn nhỏ mà độc giả có thể đọc hết hay không tùy theo khẩu vị và cảm xúc.

12. Yêu cầu căn bản khi đọc quyển sách này là gì?

Yêu thích toán học và những cái liên quan đến toán học.

13. Cần có căn bản toán học gì khi đọc quyển sách này?

Không nhiều. Có kiến thức toán học sơ cấp là đủ.

14. Những chủ đề chính trong chương Hình học là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i)                  Hình học Euclid và những khái niệm có liên quan.

(ii)                Hình học Lobachewski và hình học Riemann.

(iii)               Hình dạng của Trái đất, không gian và các hạt sơ cấp.

(iv)              Hình chiếu.

(v)                Hình học tọa độ 2, 3, 4 và n chiều.

(vi)              Hình học của không gian màu.

(vii)             Hình học hữu hạn.

(viii)           Topo học.

(ix)              Bài toán Cầu nối Koenigsberg.

(x)                Bài toán bốn màu.

(xi)              Phương pháp tiên đề trong hình học.

(xii)             Chủ nghĩa hình thức Hilbert.

(xiii)           Khám phá của Godel.

15. Những chủ đề chính trong chương Đại số là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i)                  Số học trừu tượng.

(ii)                Số học lí thuyết số.

(iii)               Mở rộng hệ thống số.

(iv)              Lí thuyết phương trình đại số.

(v)                Lí thuyết phương trình của Galois.

(vi)              Các phương trình Diophantine.

(vii)             Đại số trừu tượng.

(viii)           Lí thuyết nhóm và những vấn đề có liên quan.

(ix)              Vành, vector, ma trận, miền nguyên, trường, không gian vector, đại số tuyến tính.

(x)                Không gian Hilbert, không gian Banach.

(xi)              Đại số Boole.

(xii)             Câu nói năm 1901 của Russel.

(xiii)           Tập hợp đếm được và tập hợp không đếm được.

(xiv)           Giả thiết liên tục.

(xv)            Nghịch lí Barber.

(xvi)           Nghịch lí Russel.

16. Những chủ đề chính trong chương Giải tích là gì?

Bao gồm những chủ đề sau:

(i)                  Giải tích và những khái niệm cơ bản của nó.

(ii)                Giới hạn của thương, giới hạn của tổng, và giới hạn của chuỗi vô hạn.

(iii)               Nghịch lí Zeno về Achilles và con rùa.

(iv)              Chuỗi Fibonacci.

(v)                Vi phân và đạo hàm.

(vi)              Các ứng dụng hằng ngày của cực đại và cực tiểu.

(vii)             Bài toán tia sáng của Heron.

(viii)           Tổ ong và sai sót của Koenig.

(ix)              Đường cong lấp đầy-không gian.

(x)                Đạo hàm riêng và điểm yên ngựa.

(xi)              Tích phân và các ứng dụng của nó.

(xii)             Tích phân Riemann.

(xiii)           Tích phân Lebesgue.

(xiv)           Chuỗi Fourier.

(xv)            Hệ phương trình vi phân.

(xvi)           Hệ phương trình Laplace.

(xvii)         Hệ phương trình Maxwell.

(xviii)        Hệ phương trình tích phân.

(xix)           Các hàm biến phức.

(xx)            Các hàm giải tích và dòng chất lưu.

(xxi)           Khám phá của Zukovskii.

(xxii)         Hàm zeta của Riemann.

(xxiii)        Giải tích nhiều biến.

(xxiv)       Lí thuyết phân bố.

(xxv)         Giải tích thực.

(xxvi)       Giải tích hàm.

(xxvii)      Gần đúng của các hàm.

(xxviii)    Toán rời rạc.

(xxix)       Toán học lí thuyết và toán học ứng dụng.

(xxx)         Giải tích hiện đại.

17. Nên đọc quyển sách như thế nào?

Trước tiên hãy đọc câu hỏi. Nếu bạn nghĩ bạn không biết câu trả lời thì cứ đọc tiếp. Nhưng nếu bạn nghĩ mình có câu trả lời hợp lí thì hãy tạm dừng một chút và đoán xem câu trả lời là gì. Tiếp theo hãy đọc câu trả lời và kiểm tra xem dự đoán của bạn có đúng không. Nếu bạn đúng thì bạn sẽ có một niềm vui nho nhỏ và niềm tin nữa, còn nếu không thì bạn có câu trả lời trong tay rồi.

18. Nội dung quyển sách có xuất xứ từ đâu?

Trong một quyển sách như thế này, thật không thể nào nhớ nổi một quan điểm hay một khái niệm lần đầu tiên tác giả bắt gặp là nằm ở đâu. Tác giả vay mượn các ý tưởng từ nhiều người và nhiều tác giả khác.

19. Tác giả có muốn cảm ơn ai không?

Quyển sách này được xuất bản là nhờ sự quan tâm liên tục của con gái tôi, Kiran Bhatt, và sự cố gắng bền bỉ, không mệt mỏi của tiến sĩ Latika Jha. Họ đáng được cảm tạ đặc biệt. Nhưng tôi không muốn cảm ơn họ. Tôi dành cho họ chỗ đề tặng của bản in lần thứ nhất này của quyển sách.

Tôi đặc biệt cảm tạ đội ngũ biên tập và xuất bản của nhà xuất bản Messrs. ABD, đặc biệt là Shri Gopal vì sự sắc sảo và hợp tác trong khâu thiết kế và in ấn quyển sách.

20. Còn những góp ý cải tiến quyển sách thì sao?

Các phê bình và góp ý cải tiến quyển sách luôn được hoan nghênh.

***********************************

Chương 1

Hình học và các loại hình học

1. Có bao nhiêu loại hình học?

Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.

2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?

Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.

3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau à?

Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn bằng 180^o, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180^o, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180^o.

4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!

Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.

5. Hinh học Euclid là gì?

Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid.

Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.

6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?

Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”.

Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.

7. Một cấu trúc logic là gì?

Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.

Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.

8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?

Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.

Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.

9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?

Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng. Thứ nhất là các giả thuyết phải nhất quán. Điều này có nghĩa là các phát biểu mâu thuẫn sẽ không được gợi đến bởi những giả thuyết. Chúng phải không dẫn tới “A là B” và “A không phải là B”.

Thứ hai là các giả thuyết phải hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là mỗi định lí của hệ thống logic phải được suy ra từ các giả thuyết.

10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?

Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.

Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.

Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.

11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?

Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.

Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.

12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?

Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.

Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!

13. Những khái niệm căn bản của hình học Euclid là gì?

Trong hình học Euclid, điểm và đường là những khái niệm căn bản. Một điểm được nói là không có độ lớn, và một đường thì không có bề rộng.

Nhưng đây là những mô tả gợi mở chứ không phải những định nghĩa toán học.

14. Các điểm và đường trong hình học khác như thế nào với các đối tác vật chất của chúng?

Khái niệm điểm là một đối tượng rất nhỏ có hiện thân vật chất là một chấm bút chì. Một đường thẳng tự hiện thân ở một sợi chỉ bị kéo căng hoặc một tia sáng.

Điểm và đường trong hình học là cái trừu tượng từ chấm bút chì và đường kẻ bút chì trong kinh nghiệm hằng ngày.

15. Công dụng của sự trừu tượng ấy là gì?

Ưu điểm từ những trừu tượng như thế là các điểm và các đường trong hình học có những tính chất đơn giản hơn nhiều so với các chấm và các đường vật chất. Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to có thể được nối lại bởi nhiều đường kẻ bút chì, nhưng nếu hai cái chấm có kích cỡ càng lúc càng nhỏ, thì toàn bộ các đường kẻ trông hầu như giống hệt nhau và chúng ta chẳng gặp khó khăn gì trong việc nhận thức tiên đề hình học rằng có một và chỉ một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm bất kì.

16. Các giả thiết của hình học Euclid là gì?

Các giả thiết của Euclid như sau:

1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

17. Các tiên đề của hình học Euclid là gì?

Các tiên đề của Euclid như sau:

1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.

18. Tiên đề khác với giả thiết như thế nào?

Các tác giả hiện đại thường không nhớ sự phân biệt của Euclid giữa tiên đề và giả thiết, họ sử dụng những tên gọi này nhầm lẫn và gọi chúng là những giả thiết căn bản.

19. Euclid thu được gì từ một tập hợp nhỏ gồm những giả thiết căn bản như thế?

Chỉ sử dụng vài giả thiết căn bản này, Euclid đã chứng minh hàng trăm định lí, nhiều trong số chúng nổi tiếng, và đi đến xếp thứ tự các định lí.

Khái niệm chứng minh, cái cấu thành tinh thần căn bản của toán học, do Euclid nêu ra.

Vì các chứng minh phải được thực hiện hoàn toàn trong khuôn khổ các giả thiết, cho nên sự chọn lựa những giả thiết căn bản của Euclid thật sự là đáng nể và là thành tựu của thiên tài.

20. Định đề hai đường song song là gì?

Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng. Nó thể hiện sự thiên tài của Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó.

Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

21. Hình học Lobachewsky là gì?

Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là một trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.

Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.

Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.

22. Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?

Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu thuẫn nhau.

23. Nhưng hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song với đường thẳng đã cho!

Nguyên nhân hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng sang phải và một hướng sang trái, không có vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì hình được vẽ trong một mặt phẳng bình thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn hình học mới thì không!

24. Còn có ai khác đi tới quan điểm mới trên?

Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachewsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.

25. Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.

Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachewsky.

Lobachewsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachewsky.

26. Hình học Riemann là gì?

Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.

Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ông đến với một bộ môn hình học trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ.

Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann.

27. Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?

Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song thì vẫn không thay đổi. Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba bộ môn hình học:

(i)                  Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

(ii)                Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.

28. Đâu là chỗ khác nhau giữa ba bộ môn hình học?

So sánh dưới đây nêu rõ những chỗ khác biệt.

Trong hình học Euclid:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

(ii)                Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.

(iii)               Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình phóng to của tam giác kia.

(iv)              Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng p.

Trong hình học Lobachewsky:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180^o, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện tích của tam giác.

(ii)                Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.

(iii)               Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.

(iv)              Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn p, và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn.

Trong hình học Riemann:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180^o.

(ii)                Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.

(iii)               Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.

(iv)              Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn p, và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.

29. Bộ môn hình học nào đúng?

Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.

Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.

Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt của một hình cầu.

Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu. Xem bên dưới:

Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy.

Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:

Mỗi môn hình học hoạt động tốt trên mặt tương ứng của nó.

30. Vì một môn hình học được sáng tạo chỉ dựa trên hệ thống tiên đề của nó, vậy đâu là khả năng phụ thuộc của nó vào thế giới vật chất?

Đặc điểm của không gian vật lí của chúng ta được xác định chính xác bởi hình học Euclid nên trong hơn 2000 năm áp dụng nó luôn được xem là chân lí tuyệt đối về không gian vật lí.

Chỉ đến khi khám phá ra các môn hình học phi Euclid người ta mới nhận ra rằng hình học không phải là chân lí về không gian vật lí. Nó chỉ là một nghiên cứu của những không gian có thể có.

Những môn hình học khác nhau, được xác định bởi những hệ tiên đề khác nhau, do đó, không phải là những mô tả của thực tại.

Chúng đơn thuần là những mô hình mà thôi.

Từ quan điểm này, một cái khá may mắn là mô hình Euclid mô tả thực tại khá đầy đủ.

31. Vậy một định lí toán học thì có ý nghĩa gì?

Một định lí toán học về căn bản là một xác nhận có điều kiện.

Nó chỉ đúng nếu tập hợp các giả thiết từ đó suy ra nó là đúng.

Nhưng còn chuyện tập hợp các giả thiết đó là đúng hay sai thì định lí không xác nhận.

32. Tại sao? Nguyên nhân là gì?

Nguyên nhân là vì các giả thiết được lập theo các khái niệm, nói đại khái chúng không có ý nghĩa đặc biệt nào, cho nên các giả thiết là đúng hay sai không thể xác nhận được.

33. Phải chăng hình học Euclid không mâu thuẫn với các hình học phi Euclid?

Đúng vậy. Vì một mặt phẳng có độ cong bằng không, nên nếu thay số không vào giá trị của độ cong trong các công thức của các hình học phi Euclid, thì các công thức thu được giống hệt với các công thức của hình học Euclid.

Vì vậy, hình học Euclid có thể xem là một trường hợp đặc biệt của các hình học phi Euclid, chúng vốn khái quát hơn.

34. Một đường thẳng có ý nghĩa gì?

Một cái hiện ra ngay trong đầu là các đường thẳng trên một mặt cầu hay mặt giả cầu thật ra là bị cong và có vẻ không thích hợp gọi chúng là thẳng.

Nhưng tất cả tùy thuộc vào cách chúng ta định nghĩa một đường thẳng.

Một cách định nghĩa một đường thẳng là nhận ra nó là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.

35. Định nghĩa này làm đơn giản vấn đề như thế nào?

Bây giờ khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của một hình cầu không phải là một đường thẳng mà là một đoạn của đường tròn nằm trên bề mặt của hình cầu đó.

Một đường tròn như vậy được gọi là “đường tròn lớn” và tâm của nó nằm tại tâm của hình cầu.^*

^* Nếu hai điểm nằm trên bề mặt của hình cầu được nối lại với sự hỗ trợ của một cái thước đâm xuyên qua hình cầu, thì đường thẳng thu được sẽ không còn nằm trên bề mặt của hình cầu nữa.

Nhưng vì đường thẳng đó phải nằm trên bề mặt, nên nó phải đi theo “đường tròn lớn”.

Một đường tròn lớn chia hình cầu thành hai phần bằng nhau. Đường xích đạo là một đường tròn lớn, nhưng các đường vĩ tuyến thì không phải. Một đường kinh tuyến là nửa đường tròn lớn.

Khái quát hóa khái niệm này, đường cong nằm trên một bề mặt và là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt đó được gọi là “đường trắc đạc” trên bề mặt đó.

Trên mặt phẳng thì đường trắc đạc là đường thẳng.

36. Đường trắc đạc trên những mặt khác nhau có khác nhau không?

Vâng, đường trắc đạc khác nhau tùy theo mặt nhất định.

Đường trắc đạc trên mặt phẳng thì hướng theo đường thẳng. Hai đường trắc đạc bất kì trên một mặt phẳng cắt nhau tại một điểm, nhưng nếu chúng song song thì chúng không bao giờ cắt nhau.

Đường trắc đạc trên mặt cầu thì hướng theo đường tròn lớn. Trên một mặt cầu, hai đường trắc đạc, cho dù chúng có vẻ song song nhau, luôn luôn cắt nhau tại hai điểm.

Trong trường hợp Trái đất của chúng ta, toàn bộ các đường kinh tuyến là đường trắc đạc. Tại xích đạo, tất cả các kinh tuyến trông song song nhau, nhưng chúng đều cắt nhau tại hai cực.

Các đường trắc đạc trên mặt giả cầu tiến đến càng sát nhau càng tốt, nhưng chúng không bao giờ cắt nhau.

37. Cái gì xác định bản chất của đường trắc đạc?

Bản chất của đường trắc đạc trên một mặt phụ thuộc vào độ cong của mặt đó.

Một mặt phẳng có độ cong bằng không.

Một mặt cầu có độ cong dương không đổi tại mỗi điểm trên mặt của nó.

Bề mặt của một quả trứng có độ cong dương nhưng nó biến thiên từ điểm này sang điểm khác.

Một mặt giả cầu có độ cong âm không đổi.

Một mặt giống như mặt yên ngựa có độ cong âm.

38. Có phải một “đường thẳng” phải kéo dài vô hạn ở cả hai phía không?

Các đường song song trong hình học Euclid không cắt nhau và cho dù kéo dài bao xa về mỗi phía thì chúng vẫn luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi. Một đường thẳng, do đó, được cho là kéo dài vô hạn ở cả hai phía.

Riemann đề xuất rằng không có nhu cầu logic nào cho một khái niệm như thế và mọi đường thẳng nếu kéo dài đủ mức có thể quay trở lại trên chúng và có cùng chiều dài giống như các đường kinh tuyến trên bề mặt Trái đất.

Trong trường hợp một hình cầu giống như Trái đất, mỗi kinh tuyến giao cắt với kinh tuyến khác ở hai điểm, đó là cực Bắc và cực Nam, nên mỗi cặp “đường thẳng” luôn luôn cắt nhau và khép kín một diện tích, và không có hai “đường thẳng” nào có thể song song nhau.

39. Nhưng làm thế nào một đường thẳng có thể tuân theo hình học Euclid lẫn hình học Riemann?

Giả thiết ngầm của Euclid ngụ ý rằng một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn. Theo Riemann, một đường thẳng, nếu kéo dài đủ mức, có thể quay trở lại trên chính nó.

Mâu thuẫn rõ ràng mà Riemann nêu ra là sự khác biệt quan trọng giữa vô hạn và khép kín.

Một đường thẳng có thể khép kín và không vô hạn giống như bề mặt của một quả cầu khép kín nhưng không vô hạn. Một đường thẳng không thỏa mãn yêu cầu nhất quán như thế khớp hoàn toàn với hình học Euclid và hình học Riemann.

40. Cái nào là hình học của Trái đất?

Đối với đa số mục đích thông thường, bề mặt của Trái đất hành xử như thể nó là phẳng. Do đó, để xây dựng nhà cửa, cầu đường, sân chơi thể thao, vân vân, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là một đường thẳng và tổng số đo ba góc của một tam giác là 180^o, và hình học có thể áp dụng là hình học Euclid.

41. Còn khi xét những khoảng cách lớn trên Trái đất thì sao?

Xét một tam giác lớn trên bề mặt của Trái đất được tạo bởi một cung xích đạo và hai đoạn kinh tuyến, tức là hai đường tròn lớn vẽ từ cực Bắc và kết thúc trên cung này. Xem hình bên dưới:

Hai góc đáy mỗi góc bằng 90^o nên tổng ba góc của tam giác cộng lại sẽ lớn hơn 180^o.

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì không còn là một đường thẳng mà là một đoạn cung kinh tuyến, cho nên hình học Euclid không còn áp dụng được.

Thật vậy, ngay cả khi hai điểm trên bề mặt Trái đất chỉ cách nhau vài trăm mét, thì việc công nhận độ cong của Trái đất sẽ xác định khoảng cách chính xác giữa chúng.

42. Trái đất phẳng bao nhiêu hay cong bao nhiêu?

Một đường thẳng trong một mặt phẳng được nói là thẳng và không có độ cong, còn trong trường hợp đường tròn thì đường tròn càng nhỏ độ cong của nó càng lớn.

Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính 1 foot là có độ cong đơn vị, thì độ cong của một đường tròn bán kính 1 yard sẽ bằng một phần ba đơn vị; và với tỉ lệ này thì độ cong của đường tròn lớn trên bề mặt Trái đất sẽ vào khoảng một phần 21 triệu. Độ cong này là quá nhỏ nên một cung của một đường tròn như vậy trên thực tế không thể phân biệt với một đoạn thẳng.

Vì thế, hình học của Trái đất là hình học Euclid đối với những chiều dài hay khoảng cách nhỏ, và là hình học phi Euclid đối với những khoảng cách lớn.

43. Hình học của không gian mà chúng ta đang sống là hình học nào?

Gauss, “ông hoàng toán học”, đã chọn ba đỉnh núi ở xa nhau tạo nên một tam giác và tìm thấy tổng số đo ba góc của tam giác được tạo ra đó là bằng 180^o trong giới hạn của sai số thực nghiệm.

Thí nghiệm tỏ ra không thuyết phục bởi vì tam giác mà ông sử dụng là đủ lớn so với hình vẽ trên giấy, nhưng vẫn quá nhỏ so với kích cỡ của vũ trụ.

Nếu thay cho ba ngọn núi ở xa, chúng ta chọn ba ngôi sao ở xa, thì thí nghiệm vẫn không thuyết phục, mặc dù lần này là vì những lí do hoàn toàn khác.

44. Những lí do này là gì?

Vì trong trường hợp này, phép đo góc sẽ phải theo phương tiện tia sáng, và trong hành trình xuyên không gian của chúng, những tia sáng này bị bẻ cong theo độ lớn của trường hấp dẫn mà chúng đi qua, cho nên kết quả của phép đo sẽ cho chúng ta biết về các định luật truyền ánh sáng nhiều hơn là về bản chất của không gian, dù là Euclid hay không.

45. Không gian có ý nghĩa chính xác là gì?

Một quan điểm có thể là không gian hoàn toàn trống rỗng, một khoảng không không có vết tích của vật chất, nhưng trong một không gian như vậy không có cái gì để phân biệt một vị trí hay một phương hướng, cho nên không có vị trí, không có phương hướng và, vì thế, không gian hoàn toàn trống rỗng chẳng gì hơn là một sự trừu tượng.

46. Quan điểm khác thì sao?

Quan điểm khác cho rằng “không gian là hình thức tồn tại của vật chất”, cho nên tính chất của không gian thật sự là tính chất của những liên hệ nhất định của các vật thể, ví dụ, kích cỡ của chúng, vị trí tương hỗ, vân vân.

Theo quan điểm này, không gian thật sự không thể chia tách với vật chất. Vật chất xác định hình học và hình học giải thích cho hiện tượng trước đây quy cho lực hấp dẫn.

Không những vậy, như Einstein chứng minh, không gian không thể tách rời với thời gian, và chúng cùng nhau tạo nên một hình thức tồn tại của vật chất, đó là không-thời gian.

47. Nếu không gian và thời gian được xem như những thực thể riêng biệt thì sao?

Cấu trúc của không-thời gian là phức tạp và không gian không thể tách rời với thời gian ngoại trừ dưới những giả thiết nhất định, trong trường hợp đó không gian hóa ra là Euclid trong những vùng nhỏ so với kích cỡ vũ trụ, nhưng trong những vùng lớn có chứa khối lượng lớn vật chất, thì sự sai lệch khỏi hình học Euclid trở nên rõ nét.

48. Hình học gần đúng của vũ trụ là hình học nào?

Nhiều giả thuyết đã được đặt ra về cấu trúc của vũ trụ xem như một tổng thể, giả sử sự phân bố khối lượng là đồng đều và vũ trụ không tĩnh tại.

Những giả thuyết này đã làm đơn giản hóa vấn đề và cho phép chúng ta có một khái niệm gần đúng của khuôn khổ thật sự của vạn vật.

Dưới những giả thuyết như vậy, một lí thuyết đã được đề xuất bởi nhà vật lí Liên Xô Friedmann cho thấy hình học của vũ trụ trên tổng thể là hình học Lobachewsky.

49. Hình học nào áp dụng cho các hạt sơ cấp?

Giống như trường hợp hình học Euclid không áp dụng được cho những khoảng cách lớn trong vũ trụ, nó cũng không áp dụng được cho những khoảng cách cực nhỏ.

Hình học phi Euclid có thể áp dụng cho những khoảng cách bên trong và giữa các nguyên tử, phân tử, hạt sơ cấp, vân vân.

50. Chỉ có ba môn hình học thôi sao?

Rõ ràng là có thể có vô số môn hình học, bởi vì bắt đầu với những tiên đề bất kì người ta có thể xây dựng nên một môn hình học mới, miễn sao các tiên đề đó không dẫn tới mâu thuẫn.

Một bề mặt mới có thể được tìm thấy là nơi áp dụng cho lí thuyết hình học mới.

Tuy nhiên, một bề mặt càng phức tạp, thì bộ môn hình học xây dựng thích hợp cho nó cũng thật kì cục.

51. Hình học xạ ảnh là gì?

Xét một người họa sĩ đứng trước quang cảnh mà anh ta muốn vẽ lại. Ta có thể hình dung cái khung vẽ của anh ta là một màn kính trong suốt xen giữa quang cảnh và mắt của anh ta. Hình vẽ trên khung vẽ hóa ra là hình chiếu của quang cảnh trên màn kính với tâm chiếu nằm tại mắt của người họa sĩ.

Vì khung vẽ thật sự thì không trong suốt và quang cảnh mà người họa sĩ muốn vẽ có thể chỉ nằm trong trí tưởng tượng của anh ta, nên người họa sĩ cần một khuôn khổ toán học để cho phép anh ta miêu tả thế giới thực ba chiều trên một khung vẽ hai chiều.

Hình học xạ ảnh cung cấp một khuôn khổ như thế. Nó nghiên cứu tính chất hình học của những hình vẽ vẫn bất biến dưới những phép chiếu như vậy.

52. Đó là những phép chiếu nào?

Ví dụ quen thuộc nhất của một phép chiếu như vậy là cái bóng do một nguồn sáng điểm tạo ra.

Cái bóng của một hình tròn do một nguồn sáng điểm tạo ra không phải lúc nào cũng tròn. Chúng là những hình elip dẹt ít hoặc dẹt nhiều.

Bóng của một hình vuông có thể là hình bình hành, hoặc là một tứ giác nào đó.

Bóng của một tam giác vuông không phải lúc nào cũng là tam giác vuông.

Những viên gạch lát hình vuông dưới sàn nhà thì trong tranh không được vẽ là hình vuông. Nhưng ấn tượng để lại trong mắt người nhìn vẫn giống như những viên gạch thật.

53. Hình chiếu khác với hình gốc ở những chỗ nào?

Trong hình chiếu do một nguồn điểm gây ra, kích cỡ của các góc, các diện tích và các đoạn thẳng bị biến dạng, nhưng có một số tính chất không bị thay đổi sao cho cấu trúc của hình gốc thường có thể được nhận ra trên khung vẽ.

54. Đó là những tính chất nào?

Đó là những tính chất khá đơn giản:

Hình chiếu của một điểm là một điểm và hình chiếu của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, tức là một đoạn thẳng thì sẽ không bị cong. Như vậy, hình chiếu của một tam giác sẽ luôn luôn là một tam giác, và hình chiếu của một tứ giác sẽ luôn vẫn là tứ giác.

Ba tính chất quan trọng được rút ra từ những tính chất đơn giản này:

(i)                  Nếu một điểm nằm trên một đoạn thẳng thì sau phép chiếu điểm tương ứng sẽ nằm trên đoạn thẳng tương ứng. Tính chất này gọi là tính rơi.

(ii)                Nếu ba điểm trở lên cùng nằm trên một đoạn thẳng, thì hình chiếu tương ứng của chúng cũng sẽ nằm trên một đoạn thẳng. Tính chất này gọi là cộng tuyến.

(iii)               Nếu ba đoạn thẳng trở lên cùng cắt qua một điểm, thì hình chiếu của chúng sẽ cắt qua một điểm. Tính chất này gọi là đồng quy.

55. Hình học xạ ảnh được áp dụng ở đâu?

Hình học xạ ảnh có ứng dụng trong lĩnh vực nhiếp ảnh trên không, kiến trúc và trong các bài tập phối cảnh mà các họa sĩ thường nghiên cứu.

56. Hình học xạ ảnh khác với hình học Euclid ở chỗ nào?

Các định lí của hình học Euclid xét độ lớn của các chiều dài, các góc và các diện tích theo các khái niệm liên quan tương đẳng và đồng dạng.

Đây là những tính chất đo đạc. Chúng xử lí các độ lớn và bất biến dưới những chuyển động nào đó.

Hình học xạ ảnh xét các tính chất chiếu hay các tính chất bất biến dưới phép chiếu, tức là tính tính rơi, cộng tuyến và đồng quy.

57. Có cần thiết phân biệt giữa các tính chất chiếu và tính chất đo đạc hay không?

Sự phân biệt giữa các tính chất đo đạc và tính chất chiếu của các hình đã được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Cayley. Ông xét toàn bộ vấn đề trên phương diện đại số và đã thống nhất cả hai.

58. Hình học tọa độ là gì?

Hình học tọa độ^* là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.

Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa các số thực và các điểm trong không gian.

Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng.

Xét hai đường thẳng vuông góc nhau, gọi là hai trục tọa độ, Ox và Oy, cùng đi qua gốc tọa độ O. Khi ấy, vị trí của một điểm P bất kì trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách x₁ đến đường thẳng đứng Oy và khoảng cách y₁ đến đường nằm ngang Ox. Cặp số thực theo trật tự (x₁, y₁) xác định điểm P trong mặt phẳng, và được gọi là tọa độ của nó.

Hình học tọa độ còn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tôn vinh người phát minh ra nó, Rene Descartes.

59. Phải chăng hình học tọa độ là một công cụ mạnh hơn hình học bình thường?

Sức mạnh của hình học tọa độ nằm ở thực tế nó nghiên cứu các đối tượng hình học bằng phương pháp đại số.

Khái niệm tọa độ biến những bài toán hình học thành những bài tính toán theo các đại lượng đại số.

Và các phép tính đại số thì dễ làm hơn là các chứng minh hình học liên quan rất nhiều đến trực giác và kinh nghiệm với các hình vẽ và sơ đồ!

Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng được tôn vinh là đã “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ”.

60. Làm thế nào giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ?

Bằng phương pháp tọa độ, các phương trình đại số đơn giản bậc nhất theo hai biến x và y có được ý nghĩa trực quan và chúng biểu diễn cho những đường thẳng sao cho việc nghiên cứu các đối tượng hình học gọi là đường thẳng được thực hiện thông qua việc nghiên cứu những phương trình như thế. Phương pháp này dễ làm hơn và đáng làm hơn!

Phương trình 2x + 3y = 6, hoặc tương đương là x/3 + y/2 = 1, thu được bằng cách chia hai vế phương trình cho 6, được biểu diễn trực quan bởi đường thẳng AB.

Tương tự, phương trình khái quát cho đường thẳng có dạng như sau

ax + by + c = 0

Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x và y biểu diễn các đường cong trong một mặt phẳng.

61. Đó là những đường cong nào?

Quen thuộc nhất trong những đường cong như thế là đường tròn, đường parabol, đường elip và đường hyperbol. Một biểu diễn hình học của mỗi đường cong cùng với phương trình của nó được cho bên dưới.

62. Các đường conic là gì?

Giao tuyến của một hình nón với những mặt phẳng khác nhau được gọi là các đường conic.

Nếu một mặt phẳng cắt qua một hình nón vuông góc với trục của nó thì giao tuyến là một đường tròn.

Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón thì giao tuyến thu được là đường elip.

Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của hình nón thì giao tuyến là đường parabol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần thì ta thu được đường hyperbol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần và đồng thời đi qua đỉnh nón, thì ta thu được một cặp đường thẳng xuyên đỉnh.

____

*Hình học tọa độ chủ yếu được phát triển bởi Rene Decartes, một nhà toán học người Pháp. Ông xuất bản tác phẩm của mình vào năm 1637.

63. Tính phản xạ của parabol có ý nghĩa gì?

Parabol có một tính chất nổi bật là nếu đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm S của nó, thì toàn bộ các tia sáng đi ra từ S, sau khi phản xạ tại parabol, truyền đi song song với trục của nó.

Tính chất này được gọi là tính phản xạ của parabol.

Chính vì tính chất này mà các gương lắp phía sau đèn trước xe hơi được chế tạo có hình paraboloid, tức là hình dạng được tạo ra bằng cách quay parabol xung quanh trục của nó.

Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa hơn về phía trước.

64. Tính chất âm học của parabol là gì?

Các tia sáng đi ra từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục của parabol.

Ngược lại, các tia sáng tới song song với trục của parabol sau khi bị phản xạ thì cùng đi qua tiêu điểm.

Vì sóng âm hành xử theo kiểu giống như vậy, nên tính chất âm thanh bị hội tụ tại tiêu điểm được gọi là tính chất âm học của parabol.

Đây là nguyên do ở trong một số phòng trưng bày nghệ thuật, những tiếng thì thầm của ai đó lại được nghe rõ khi bạn đứng ở một chỗ nhất định, còn ở những chỗ khác thì không nghe được.

Chỗ nhất định đó, S, thật ra là tiêu điểm của cấu trúc parabol.

65. Tính chất phản xạ của elip là gì?

Elip có tính chất là các tia sáng đi ra từ một trong hai tiêu điểm, ví dụ như S₁, sau khi bị phản xạ tại elip thì đi qua tiêu điểm kia, S₂.

Tính chất này được gọi là tính chất phản xạ của elip.

Như vậy, nếu elip được làm từ một dải kim loại sáng bóng, thì các tia sáng đi ra từ tiêu điểm này sẽ đều hội tụ đến tiêu điểm kia.

Một vật đặt tại S₂ sẽ được rọi sáng nhờ nguồn sáng đặt tại S₁, cho dù S₁ và S₂ ở khá xa nhau.

66. Tính chất âm học của elip là gì?

Sự phản xạ âm thanh từ tiêu điểm này qua tiêu điểm kia của elip được gọi là tính chất âm học của elip.

Đây là nguyên do vì sao ở một số phòng trưng bày nghệ thuật, người xem đứng tại hai chỗ nhất định có thể nghe được tiếng thì thầm của nhau, cho dù ở giữa họ có rất nhiều người.

67. Động cơ nào thúc đẩy người ta nghiên cứu những đường cong này?

Đó là một chuỗi những sự kiện và khám phá và nhu cầu cấp thiết, khá quan trọng trong số chúng là:

Kepler khám phá rằng các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip và Galileo^*khám phá rằng một hòn đá bị ném đi trong không khí vạch ra một quỹ đạo parabol. Tương tự, các viên đạn bay ra từ nòng súng cũng vạch ra các parabol.

Vì thế, có nhu cầu tính toán những elip này cũng như các parabol mô tả quỹ đạo của viên đạn.

68. Còn những nhu cầu nào khác nữa?

Nền thiên văn học lấy Trái đất tĩnh làm trung tâm không còn đúng nữa, và nền cơ học Hi Lạp cổ đại cũng vậy. Những lí thuyết này cần được đánh giá lại và xét lại.

Sự phát triển nhanh của ngành hàng hải làm phát sinh nhu cầu liên hệ các bản đồ hải trình trên địa cầu với bản đồ phẳng.

Những lĩnh vực khoa học tự nhiên khác cũng có những bài toán tương tự chờ được giải và tính toán chính xác.

69. Tại sao tính chất của những đường conic đã không được khai thác khi mà những người Hi Lạp xưa đã biết rõ về chúng?

Tính chất của các đường conic đã được người Hi Lạp xưa biết rõ từ trước Descartes đến 2000 năm, nhưng chúng chỉ cấu thành nên một bộ phận của hình học. Người ta chưa biết có phương pháp nào sử dụng chúng trong những lĩnh vực khác. Công cụ hệ tọa độ đã thay thế các đường cong bằng phương trình, chúng tương đối dễ xử lí hơn. Và kĩ thuật tọa độ đã mở rộng cửa cho một ngôi nhà đầy châu báu trước đó chưa ai dám mơ tới!

70. Kĩ thuật đại số có là đủ để làm việc với các đường cong hay không?

Không, người ta sớm nhận ra rằng những kĩ thuật này không thể xử lí độ dốc và độ cong, chúng là những tính chất cơ bản của đường cong.

71. Độ dốc và độ cong được định nghĩa như thế nào?

Độ dốc là tốc độ mà một đường cong tăng hoặc giảm tính trên đơn vị hoành độ.

Độ cong là tốc độ mà chiều của đường cong biến thiên trên đơn vị chiều dài của đường cong.

Độ dốc của một đường thẳng là không đổi trên toàn chiều dài của nó, và độ cong của nó bằng không.

Độ cong của một đường tròn giữ nguyên không đổi trên toàn chiều dài của nó.

Độ dốc và độ cong biến thiên từ điểm này sang điểm khác đối với những đường cong khác.

72. Độ dốc và độ cong được tính như thế nào?

Giải tích cung cấp phương pháp tính những đại lượng này cho các đường cong khác nhau.

____

^* Kepler công bố tác phẩm của ông vào năm 1609. Galileo trình bày các quan điểm của ông trong một quyển sách ra mắt vào năm 1638.

73. Hình học giải tích là gì?

Lĩnh vực nghiên cứu các đường cong và các mặt với sự hỗ trợ của toán học giải tích được gọi là hình học giải tích.

Hình học giải tích nghiên cứu những bài toán đa dạng vượt ra ngoài phép tính độ dốc và độ cong.

Nó cũng nghiên cứu bài toán rất quan trọng của trắc đạc, tức là bài toán xác định khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên một bề mặt.

74. Hệ tọa độ ba chiều là gì?

Nếu ta bổ sung thêm một trục Oz vuông góc với trục Ox và Oy, tức là vuông góc với mặt phẳng trang giấy và đo các khoảng cách song song với Ox, Oy và Oz theo trật tự đó, thì một điểm P trong không gian có thể được xác định bởi bộ ba số thực xếp theo trật tự (x₁, y₁, z₁).

Ngược lại, một bộ ba số thực bất kì xếp theo trật tự xác định duy nhất một điểm trong không gian. (x₁, y₁, z₁) được gọi là các tọa độ của điểm P.

Hình học tọa độ ba chiều nghiên cứu các điểm trong không gian hay, tương đương, những bộ ba số trật tự.

75. Hình học n chiều là gì?

Cayley và nhà toán học người Đức Grassmann, độc lập nhau, đã khái quát hóa hình học tọa độ hai chiều.

Trong hình học tọa độ hai chiều, một điểm được xác định bởi hai tọa độ và khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ (x₁, y₁) và (x₂, y₂) được cho bởi

Theo định lí Pythagoras: PQ² = PM² + MQ²

Hay PQ² = (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

Biểu thức này có thể được khái quát hóa, và trong hình học tọa độ bốn chiều, khoảng giữa hai điểm có tọa độ (x₁, y₁, z₁, t₁) và (x₂, y₂, z₂, t₂) được cho bởi

Ta có thể tiếp tục khái quát hóa cho hình học tọa độ n chiều, khoảng giữa hai điểm có tọa độ (x₁, x₂, x₃, x₄,..., x_n) và (y₁, y₂, y₃, y₄,..., y_n) được cho bởi

Mỗi khái niệm trong hình học hai chiều có thể khái quát hóa thành một khái niệm tương đương n chiều. Vì không gian mà chúng ta đang sống trong đó là ba chiều, nên trực quan hình học không thể cảm nhận vượt quá ba chiều, nhưng sự tương tự là rất có ích.

76. Hình học tọa độ bốn chiều có ứng dụng gì?

Hình học tọa độ bốn chiều có công dụng lớn đối với các nhà vật lí.

Giống hệt như một điểm trong một mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi hai con số gọi là tọa độ và một điểm trong không gian được xác định bởi ba tọa độ, một sự kiện được xác định bởi ba tọa độ cho biết vị trí trong không gian và tọa độ thứ tư cho biết thời điểm xảy ra.

Khoảng cách giữa hai sự kiện, tức là khoảng cách không-thời gian, như nó thường được gọi, được cho bởi

Hình học này đã được khai thác làm một công cụ thiết yếu trong phát triển của thuyết tương đối và trong nghiên cứu không gian, thời gian và lực hấp dẫn.

77. Khái niệm không gian trong toán học là gì?

Thuật ngữ không gian có hai ý nghĩa.

Hiểu theo một nghĩa nó là không gian thật sự bình thường, tức là không gian trải nghiệm của chúng ta.

Hiểu theo nghĩa khác, thì nó là “không gian trừu tượng”, tức là xét một tập hợp những đối tượng đồng nhất trong đó các liên hệ dạng không gian là đúng. Ví dụ, “khoảng cách” giữa hai vật có thể được xác định trong không gian này.

Trong toán học, người ta thường hiểu theo hàm nghĩa thứ hai.

78. Điểm là gì?

Khái niệm điểm trong hình học tọa độ hai chiều là nguyên tố không gian có vị trí có thể được cố định bởi hai khoảng cách. Do đó, không gian hai chiều có thể được xem là một tập hợp gồm tất cả những nguyên tố đó có vị trí có thể được cố định bởi hai chiều dài.

Tương tự, không gian ba chiều có thể được xem là một tập hợp gồm tất cả những nguyên tố có vị trí có thể được cố định bởi ba chiều dài.

Với ba tọa độ là đã đạt tới giới hạn của nhận thức trực quan vì người ta không thể nào hình dung ra trong không gian thật vị trí của một điểm với bốn hoặc nhiều tọa độ.

79. Làm sao nhận thức được không gian n chiều?

Thay vì gán ba chiều dài để cố định vị trí của một điểm trong không gian ba chiều, ta hãy nói rằng ta gán ba con số để cố định điểm đó. Khi này, điểm đó là một bộ ba trật tự đơn thuần và không cần thiết xem nó nằm trong một không gian thật sự nơi mắt chúng ta có thể nhìn vào.

Một khi dẹp bỏ được cái bản năng hình dung thị giác phiền toái kia và một điểm được nhận định là một bộ ba con số, thì ta chẳng có gì ngần ngại để thay con số 3 bằng số tổng quát n. Và chúng ta có một “không gian” n chiều, trong đó n có thể nhận giá trị lớn hơn 3.

Khi đó, một “điểm” tốt hơn nên được gọi là một “nguyên tố” và “không gian” là “đa diện”.

80. Đa diện có là một khái niệm tổng quát hơn không?

Tên gọi “đa diện” mang tính khái quát hơn và chính xác hơn thuật ngữ “không gian”.

Một đa diện đại khái giống như một lớp.

Một mặt phẳng là một lớp gồm tất cả những điểm được xác định duy nhất bởi hai tọa độ, và do đó nó là một đa diện hai chiều.

Tương tự, không gian của hình học tọa độ ba chiều có thể được xem là đa diện ba chiều vì ba tọa độ là cần thiết để cố định những điểm nằm trong đó.

Nếu cần n con số hay tọa độ để cố định mỗi nguyên tố của một đa diện, dù nó là không gian hay một lớp bất kì nào khác, thì nó được gọi là một đa diện n chiều.

Đa diện được cho là không có thuộc tính, ngoại trừ việc nó là một lớp.

81. Chúng ta có những đa diện khác nữa không?

Chúng ta có nhiều loại đa diện chẳng có liên quan gì đến không gian hay hình học. Một đa diện ba chiều sẽ là một lớp nguyên tố, mỗi nguyên tố trong đó sẽ cần đúng ba con số để xác định nó.

Một nhóm người có thể được xem là một đa diện – và một đa diện ba chiều, với ba con số x₁, x₂, x₃ biểu diễn tuổi tác, chiều cao và cân nặng, là cần và đủ để phân biệt họ.

Cũng nhóm người đó có thể được xem là một đa diện bốn chiều, nếu bốn con số x₁, x₂, x₃, x₄biểu diễn tuổi tác, chiều cao, cân nặng, và số nhà được sử dụng. Nhóm người đó trở thành một đa diện năm chiều nếu bổ sung thêm một con số x₅ biểu diễn thu nhập.

Chúng ta cũng có thể nghĩ tới một đa diện bốn chiều gồm các hạt chất khí, sử dụng ba chiều để cố định vị trí của chúng và một chiều cố định mật độ của chúng.

82. Ưu điểm của biểu diễn như thế là gì?

Giả sử chúng ta muốn minh họa sự phụ thuộc của áp suất chất khí vào thể tích của nó.

Ta làm việc này bằng cách dựng hai trục trong một mặt phẳng, dùng một trục biểu diễn thể tích, còn trục kia là áp suất. Đường cong thu được sẽ là một hyperbol cho một chất khí lí tưởng ở nhiệt độ không đổi.

Nếu chúng ta có một hệ phức tạp hơn có trạng thái được cho không phải bởi hai thuộc tính mà nói ví dụ năm thuộc tính, thì đồ thị biểu diễn hành trạng của nó liên quan đến một không gian năm chiều, tức là trạng thái của hệ này có thể được xem là một điểm trong một không gian năm chiều nào đó.

Tương tự, nếu trạng thái của một hệ được cho bởi n thuộc tính, hay n biến, thì trạng thái của nó có thể được xem là một điểm trong một không gian n chiều nào đó.

Ưu điểm của cách biểu diễn như thế là việc nghiên cứu một hệ được thực hiện bằng cách áp dụng và mở rộng các tương đương hình học và các khái niệm quen thuộc.

83. Có phải không gian thực tế của chúng ta nằm trong một không gian bốn chiều?

Khái niệm chiều thứ tư chỉ là một khái niệm trừu tượng được sáng tạo ra để mô tả theo ngôn ngữ hình học những ý tưởng không thể mô tả được bằng những biểu diễn hình học bình thường.

Nó được phát triển để đáp ứng yêu cầu của các hệ phụ thuộc vào vài ba biến số. Nhưng nó được dự tính chỉ là một phương pháp toán học mô hình hóa các hiện tượng vật lí và không liên quan gì với bản chất của không gian thực tế, chỉ có trong tiểu thuyết khoa học mới thường mô tả chiều không gian thứ tư.

Quan điểm cho rằng không gian ba chiều của chúng ta dìm trong một không gian bốn chiều thực sự là chất liệu của tư duy thần bí và chỉ là một sự xuyên tạc của những khái niệm khoa học.

84. Có thể áp dụng các khái niệm hình học cho đại số hay không?

Những bài toán đại số liên quan đến hai hay ba biến thường có cách hiểu hình học. Điều này có nghĩa là nếu một bài toán có một nghiệm đơn giản hoặc rõ ràng từ góc độ hình học, thì nghiệm đó cũng có ý nghĩa cho bài toán xét về phương diện đại số.

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ vấn đề.

Giả sử chúng ta muốn biết những nghiệm nguyên của bất đẳng thức

x² + y² < N

Về mặt hình học, bất đẳng thức x² + y² < N biểu diễn phần bên trong của vòng tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng √N , và bài toán được đơn giản thành như sau:

Có bao nhiêu điểm với tọa độ nguyên nằm bên trong vòng tròn bán kính √N?

Những điểm như thế là đỉnh của những hình vuông có cạnh bằng đơn vị chiều dài bên trong hình tròn. Số lượng điểm như thế nằm bên trong vòng tròn xấp xỉ bằng số lượng hình vuông nằm bên trong hình tròn, bằng diện tích của hình tròn bán kính .

Do đó, số lượng nghiệm nguyên của bất đẳng thức trên là khoảng πN.

Sai số ở kết quả tiến về không đối với những giá trị lớn của N.

Rõ ràng đáp số mặc dù hiển nhiên về mặt hình học nhưng không hiển nhiên từ phương diện đại số.

85. Kết quả trên có cái tương đương trong không gian cao chiều hơn hay không?

Bài toán tương ứng theo ba biến có thể được giải tương tự, nhưng nếu số lượng biến tăng vượt quá ba, thì phương pháp trên không còn áp dụng được.

Tuy nhiên, kết quả trên có thể được khái quát hóa cho bất kì số lượng biến nào để bài toán tương ứng theo n biến có một nghiệm trong đại số, mặc dù cách hiểu hình học không còn khả dụng vì không gian thực của chúng ta chỉ có ba chiều.

86. Hình học của không gian màu là gì?

Không gian được xem là một tập hợp của các điểm. Nhưng nếu các “điểm” là các vật, các sự kiện hay các trạng thái, thì tập hợp này có thể được xem là một “không gian” thuộc loại riêng của nó.

Khi đó, các khái niệm điểm, đường thẳng, khoảng cách,... được sử dụng với một ý nghĩa đã biến cải nhiều.

Một ví dụ của không gian như thế là không gian màu.

87. Không gian này tương ứng với hình học như thế nào?

Thị giác bình thường của con người có căn nguyên là ba màu. Sự cảm nhận một màu C là kết hợp của ba cảm nhận cơ bản: đỏ R, lục G và lam B với cường độ khác nhau, cho nên ta có

C = xR + yG + zB

trong đó x, y, z là kí hiệu cường độ, tính theo những đơn vị nhất định.

Một điểm có thể di chuyển trong không gian sang trái sang phải, ra trước ra sau, lên trên xuống dưới, cho nên sự cảm nhận màu sắc có thể biến thiên liên tục theo ba chiều bằng cách thay đổi các thành phần R, G và B của nó.

Tập hợp gồm tất cả những màu có thể có, do đó, được xem là không gian màu ba chiều.

Vì các cường độ không thể âm, nên x, y và z luôn luôn dương. Khi x = 0, y = 0, z = 0, ta không có màu gì hết (màu sắc vắng mặt hoàn toàn).

88. Điểm, đoạn và khoảng cách được định nghĩa như thế nào trong không gian này?

Ở đây, một “điểm” là một màu, “đoạn” AB là tập hợp thu được bằng cách trộn các màu A và B. “Khoảng cách” giữa hai màu được định nghĩa là độ dài của đường ngắn nhất nối giữa chúng. Phép đo chiều dài và khoảng cách trong không gian màu, do đó, được định nghĩa bởi một hình học phi Euclid nhất định.

89. Hình học của không gian màu có ứng dụng gì hay không?

Hình học của không gian màu cung cấp một cơ sở toán học chính xác để giải những bài toán về chất nhuộm trong ngành công nghiệp dệt, giúp phân biệt các tín hiệu màu, và những lĩnh vực có liên quan.

90. Hình học hữu hạn là gì?

Khái niệm không gian của chúng tôi là một tập hợp gồm các điểm hay các nguyên tố, chúng có số lượng vô hạn. Nhưng chúng ta còn có hình học của chỉ một số hữu hạn các điểm, ví dụ như 25 chẳng hạn.

Các tên gọi điểm, đường thẳng, khoảng cách, song song,... được sử dụng với ý nghĩa thích hợp cho hệ đang nghiên cứu.

Một hình học hữu hạn như thế áp dụng cho những bài toán nhất định, và đại số và lí thuyết số; và nó còn có ích trong lí thuyết mật mã và trong xây dựng các thiết kế thực nghiệm.

91. Topo học là gì?

Đó là một phát triển mới trong hình học vào thế kỉ 20 và là một trong những ngành phức tạp và sôi nổi nhất của toán học hiện đại.

Đó là một loại hình học nghiên cứu tính chất của các hình dạng và các mặt vẫn bất biến dưới tác dụng kéo giãn, bẻ cong, co nén, và xoắn.

92. Topo học khác gì với những hình học khác?

Không giống như những hình học khác, topo học không xét độ lớn của các chiều dài và các góc, nó là một môn hình học phi định lượng.

Topo học nghiên cứu các liên hệ chỉ phụ thuộc vào vị trí. Nói cách khác, nó chỉ nghiên cứu tính chất topo học của các hình dạng và các mặt.

93. Tính chất topo học của các hình dạng là gì?

Đây là những tính chất của các hình dạng vẫn không thay đổi ngay cả khi hình dạng đó bị biến dạng nhiều đến mức toàn bộ các tính chất đo lường và xạ ảnh của nó bị mất hết.

Xét một đường tròn (tức chỉ xét riêng đường cong, mà không xét diện tích khép kín bên trong) vẽ trên một tấm cao su. Bằng cách kéo giãn, bóp nén, bẻ cong, xoắn, nhưng không xé, nhập hay chồng, thì nó có thể biến dạng thành một elip, một tam giác, một hình vuông, hay bất cứ hình nào khác đều hay không đều.

Mỗi biến đổi như thế được gọi là một biến đổi topo. Tính chất phân biệt của nó là những bộ phận của hình đang tiếp xúc thì vẫn tiếp xúc, còn những bộ phận không tiếp xúc thì không thể tiếp xúc. Tóm lại, trong một biến đổi topo không thể có sự phân chia hay hợp nhất.

Dưới những tác dụng như thế, các tính chất như khoảng cách, góc, và diện tích bị biến đổi, còn các tính chất topo thì giữ nguyên.

94. Bên trong và bên ngoài! Đây có là những tính chất topo hay không?

Thực tế đường tròn có một “bên trong” và một “bên ngoài” là một tính chất topo.

Đường hình số 8 có hai vòng và do đó có hai “bên trong” là không tương đương topo với một đường tròn hay một tam giác, vì mỗi hình này chỉ một “bên trong”.

Một cái vòng tạo bởi hai đường tròn đồng tâm thì có hai “bên ngoài” và một “bên trong”.

95. Tính chất topo của các mặt là gì?

Xét bề mặt của một hình cầu. Nó có hai tính chất được bảo toàn dưới một biến đổi topo tùy ý.

Thứ nhất, bề mặt của hình cầu là kín. Kín theo nghĩa là không giống như hình trụ, nó không có cạnh rìa – một hình trụ được liên kết bởi hai cạnh rìa.

Thứ hai, mỗi đường cong kín trên mặt cầu chia mặt cầu thành hai phần tách biệt.

Một cái ống kín hay một cái vòng, gọi là vòng xuyến, thì không có tính chất này. Nếu một vòng xuyến bị cắt vuông góc với chiều dài của nó, thì nó không tách phần hai phần mà bị biến thành một hình ống cong, hình này có thể bị kéo thẳng thành hình trụ bởi phép biến đổi topo. Như vậy, mỗi đường cong kín trên mặt vòng xuyến không tách nó thành hai phần.

Vì thế, mặt cầu và mặt vòng xuyến là những mặt phân biệt về mặt topo học, hay nói theo các nhà topo học là chúng không đồng phôi.

96. Nếu có hai điểm bị lấy ra khỏi mặt cầu thì sao?

Bề mặt của một hình cầu với hai điểm bị loại ra là đồng phôi với một hình cầu có hai chỏm kín bị lấy mất và mỗi hình là đồng phôi với hình trụ. Hình cầu và hình lập phương thuộc cùng loại topo, tức là chúng là đồng phôi.

97. Một cặp găng tay thì sao?

Xét một cặp găng tay. Một cái là găng tay trái và một cái là găng tay phải. Nếu găng tay phải bị lộn từ trong ra ngoài thì nó trở thành găng tay trái. Găng tay trái trở thành găng tay phải nếu nó bị lộn từ trong ra ngoài. Lập luận topo cho phép chúng ta dự đoán sự biến đổi hình dạng này.

98. Những khái niệm căn bản của topo học là gì?

Khái niệm liền kề, lân cận, gần vô hạn và khái niệm tách vật (phân chia thành các bộ phận) là những khái niệm căn bản của topo học.

Một số khái niệm tương tự là bên trong và bên ngoài, bên phải và bên trái, liên kết và mất liên kết, liên tục và không liên tục.

99. Có phải topo học chỉ nghiên cứu các mặt?

Không, nghiên cứu các mặt chỉ là một lĩnh vực thôi. Topo học có nhiều phương diện, nhưng nó thường được chia làm ba phân ngành:

Topo học tổ hợp

Topo học đại số

Topo học tập điểm

Sự phân chia chủ yếu là để tiện lợi chứ không theo logic nào, bởi vì có sự chồng lấn đáng kể giữa các phân ngành topo học.

100. Topo học tổ hợp là gì?

Topo học tổ hợp là nghiên cứu các thuộc tính của những dạng hình học vẫn bất biến dưới các phép biến đổi topo.

Nó xem mỗi hình dạng là một tổ hợp gồm những hình đơn giản nối lại với nhau theo một kiểu liên tục, trái với topo học tập điểm xét các hình dạng là gồm tập hợp của các điểm.

101. Topo học đại số là gì?

Ban đầu, topo học được phát triển là một lĩnh vực nghiên cứu các mặt. Nhưng người ta sớm nhận ra rằng các khái niệm của nó có liên hệ mật thiết với một số bài toán có tầm quan trọng căn bản trong những lĩnh vực đa dạng của toán học. Các phương pháp đại số, nhất là lí thuyết nhóm, tỏ ra hết sức hữu ích trong những nghiên cứu như thế.

Phương pháp đại số này được gọi là topo học đại số và là một công cụ mạnh để chứng minh các kết quả topo học.

Nó cũng mang lại rất nhiều kết quả trong không gian cao chiều, nơi chúng ta không thể nhìn thấy mà chỉ có thể luận giải.

102. Topo học tập điểm là gì?

Trong khi topo học đã và đang được phát triển là một lĩnh vực nghiên cứu các mặt, nhưng người ta cũng nhận ra rằng topo học của riêng các mặt sơ cấp thôi là không đủ và nghiệm của các bài toán trong topo học một, hai, ba và n chiều là cần thiết. Những nghiên cứu này khai thác lí thuyết tập hợp và được phát triển thành topo học tập điểm.

Họ dạng hình học được nghiên cứu trong lĩnh vực topo học này là cực kì rộng rãi. Một điểm trong topo học này có thể biểu diễn một điểm của một hình dạng hình học bình thường, bản thân một hình dạng hoàn chỉnh, hay cả một hệ thống hình học.

103. Vì sao topo học được gọi là hình học tấm cao su?

Một mặt của topo học là nghiên cứu sự biến dạng của những hình dạng mà không xé rách hay nhập các điểm của chúng. Vì những biến dạng như thế có thể được thực hiện trên những hình vẽ trên một tấm cao su, nên topo học thỉnh thoảng được gọi là hình học tấm cao su.

Nhưng topo học hiện đại thì vươn xa ra khỏi phương diện vỡ lòng này.

104. Có phải topo học đương thời là nghiên cứu hình học không?

Lúc mới ra đời, topo học được xem là “khoa học của vị trí”, như tên gọi nghĩa đen của nó, nhưng dần dần nó đã phát triển vượt khỏi tầm vóc ban đầu của nó.

Về sự biến đổi đặc tính của nó, người ta thấy rõ rằng “topo học bắt đầu là nhiều hình học và ít đại số, nhưng bây giờ nó là nhiều đại số và ít hình học”.

Nói theo lịch sử, topo học đã phát triển theo hai hướng rạch ròi. Ở một hướng, cảm hứng dường như đến từ hình học, còn ở hướng kia giải tích có tầm ảnh hưởng chính.

105. Có đúng không nếu nói topo học là nghiên cứu tính liên tục?

Ngày nay, người ta thường chấp nhận rằng topo học là nghiên cứu tính liên tục.

Nhưng quan trọng hơn hết thảy, nó đã trở thành một ngành học nỗ lực hợp nhất hầu như toàn bộ toán học có chút tương tự với tìm kiếm triết học để sáp nhập toàn bộ kiến thức.

Ngày nay, topo học xâm nhập sâu vào toán học đến mức nó là một công cụ không thể thiếu của nhà toán học hiện đại, dù là toán lí thuyết hay toán ứng dụng.

106. Nói topo học là toán học của cái khả dĩ là có nghĩa như thế nào?

Đây là vì có nhiều câu hỏi chưa được trả lời trong những ngành toán học khác nhưng đã được xác định rõ ràng bằng cách áp dụng các khái niệm topo học.

Ví dụ, topo học xét những bài toán nhất định nào thì nghiệm có tồn tại hoặc không tồn tại, mặc dù nó thường không cho biết làm thế nào tìm ra nghiệm.

Tương tự, nó có thể cho biết những điều kiện nhất định nào là có thể hay không thể.

107. Có ví dụ nào đặc biệt không?

Xét một trường hợp từ đại số. Cái gọi là “định lí cơ bản của đại số” phát biểu rằng

Mỗi phương trình đại số bậc n bất kì với các hệ số thực hay phức

xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +... + a_n = 0

đều có nghiệm trong trường số phức.

Đây là một tình huống đại số thuần túy, tức là một phương trình dù có nghiệm hay không, nhưng không có chứng minh đại số thuần túy nào của kết quả quan trọng này. Mọi chứng minh đòi hỏi kiến thức giải tích hàm của vài biến số thực, hay giải tích phức.

Nhưng kể từ khi các khái niệm và các phương pháp topo học làm biến đổi phần lớn những ngành toán học này hầu như vượt ra ngoài thừa nhận, người ta thường tin rằng định lí trên về cơ bản phụ thuộc vào các xét đoán topo học.

108. Có ví dụ nào khác nữa không?

Một lần nữa, xét một trường hợp từ các phương trình vi phân. Đa số các hiện tượng vật lí và các bài toán của công nghệ hiện đại có thể được mô tả toán học bởi những phương trình vi phân, tức là những phương trình chứa các tốc độ biến thiên. Trong những nghiên cứu này, các phương trình vi phân phi tuyến xuất hiện thường xuyên nhưng chúng cực kì khó giải. Topo học có thể chỉ ra những loại nghiệm nào của những phương trình vi phân phi tuyến nhất định là có thể, mặc dù ở đây một lần nữa đáp số là định tính chứ không định lượng.

Trong ngữ cảnh như thế thì topo học được mô tả là toán học của cái có thể.

109. Các khái niệm topo có bất kì ứng dụng thực tế nào không?

Các khái niệm topo được sử dụng trong thiết kế các mạng lưới, nghĩa là trong phân phối điện, khí đốt và nước, và trong thiết kế tự động công nghiệp.

Chúng được sử dụng trong điều khiển lưu lượng giao thông và dẫn hướng tên lửa.

Chúng còn được áp dụng trong thiết kế bản đồ địa lí.

Lí thuyết các hệ thống động lực phong phú là nhờ các khái niệm và ý tưởng topo học.

Lí thuyết hàm hiện đại và logic biểu tượng có liên hệ mật thiết với topo học.

110. Mặt một bề là gì?

Lấy một băng giấy và dán hai đầu lại với nhau, A trùng với C, và B với D. Cách này cho ta một mặt trụ.

Mặt trụ có hai mặt – mặt trong và mặt ngoài – một mặt, ví dụ, có thể sơn màu xanh, còn mặt kia sơn màu đỏ.

Đồng thời, nó có hai cạnh, cạnh trên và cạnh dưới. Bây giờ lấy một băng giấy khác, xoắn nó nửa vòng rồi dán lại lần này sao cho A trùng với D, và B với C. Đây là dải Mobius nổi tiếng, do nhà toán học người Đức A. F. Mobius khám phá vào năm 1858.

Nếu chúng ta cố sơn hai mặt của vật này bằng hai màu, ta sẽ thấy rằng không thể làm được, vì nó chỉ có một mặt!

Trông có vẻ lạ, nhưng đáng để bạn làm thử với một băng giấy hay một dải lụa.

111. Tinh thần của thí nghiệm này là gì?

Nó cho thấy ngay cả điều quả quyết rõ ràng đơn giản và chân thật rằng mỗi bề mặt có hai mặt có thể là sai lầm! Do đó, trong toán học, chứng minh logic chặt chẽ là cần thiết, cho dù điều khẳng định có hiển nhiên như thế nào.

112. Dải Mobius có tính chất nào khác hay không?

Một tính chất nổi bật nữa của mặt này là có chỉ có một cạnh, một đường khép kín! Nếu dây curoa được xoắn lại nửa vòng trước khi thắt thì nó trở thành một mô hình của dải Mobius. Một dây curoa như vậy có thể tồn tại lâu hơn vì nó bị mòn đều ở hai mặt do ma sát trên bánh xe. Thật vậy, nó chỉ có một mặt và một cạnh.

Một lần nữa, nếu chúng ta cắt mặt trụ theo phương vuông góc với trục của nó dọc theo đường giữa, thì ta được hai mặt trụ. Nhưng nếu chúng ta cắt dải Mobius theo đường giữa, thì nó vẫn là một dải! Bạn hãy lấy một băng giấy để xác nhận. Sẽ thú vị đấy.

113. Công thức Euler cho hình khối là gì?

Công thức nêu một liên hệ giữa các đỉnh, các cạnh và các mặt của một hình khối đơn giản.

Nó phát biểu rằng đối với một khối đa diện đơn giản bất kì thì

V – E + F = 2

trong đó V là số đỉnh, E là số cạnh, và F là số mặt.

Để minh họa, một hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương thì có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt, nên 8 – 12 + 6 = 2, thỏa mãn công thức.

Tương tự, một tứ diện có 4 đỉnh, 6 cạnh và 4 mặt, nên 4 – 6 + 4 = 2, một lần nữa thỏa mãn công thức.

114. Nhưng làm thế nào công thức này là kết quả trong topo học?

Công thức trên vẫn đúng khi hình khối chịu mọi kiểu biến dạng topo, trong khi, nói chung, các cạnh thôi không còn thẳng, và các mặt thôi không còn phẳng và biến thành những mặt cong.

Vì thế, công thức này được người ta cho là định lí đầu tiên về mặt lịch sử trong topo học.

Nó đã được Descartes biết tới vào khoảng năm 1640, nhưng được khám phá lại bởi Euler vào năm 1752.

115. Bài toán Bảy chiếc cầu Koenigsberg là gì?

Thành phố Koenigsberg có trung tâm nằm trên một cù lao trên sông Pregel. Vào thế kỉ 17, cù lao này được nối với hai bờ sông với hai chiếc cầu ở mỗi bờ. Cù lao này còn có một chiếc cầu bắt sang một cù lao lân cận, và cù lao kia được nối với mỗi bờ sông bằng một chiếc cầu.

Sơ đồ như sau:

Câu đố khó dành cho các công dân của thành phố như sau:

Làm thế nào vạch ra hành trình đi qua tất cả bảy cây cầu mà không được đi qua bất kì cây cầu nào hai lần?

Đây chính là bài toán Bảy chiếc cầu Koenigsberg.

116. Làm thế nào có thể lập ra một hành trình như thế?

Một hành trình như thế không thể nào vạch ra được. Các thử nghiệm lặp đi lặp lại cho thấy không thể làm được chuyện đó, nhưng Euler đã đưa ra nguyên tắc chung cho những bài toán như vậy gọi là các bài toán mạng trong topo học.

117. Nguyên tắc đó là gì?

Trước khi có thể giải thích nguyên tắc, chúng ta nên nhớ trong đầu một vài khái niệm và thuật ngữ.

Để cho đơn giản, các vùng đất được thay bằng các điểm, và các cây cầu bắt qua sông được thay bằng các đoạn nối giữa các điểm.

Các điểm đó được gọi là đỉnh. Một đỉnh là lẻ hoặc chẵn, theo số lượng đường dẫn từ đỉnh đó là lẻ hay chẵn.

Euler đã khám phá rằng:

(i)                  Nếu tất cả các đỉnh trong một mạng liên kết đều là chẵn thì mạng đó có thể được đi xuyên trong một hành trình bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh như trong các trường hợp sau:

(ii)                Nếu mạng chứa hai đỉnh lẻ, thì nó có thể được đi xuyên trong một hành trình, nhưng không thể quay về tại điểm xuất phát.

(iii)               Nếu mạng chứa 4, 6 hoặc 8 đỉnh lẻ, thì tương ứng sẽ cần 2, 3 hoặc 4 hành trình riêng để đi qua nó. Số lượng hành trình cần thiết để đi xuyên một mạng liên kết bằng nửa số đỉnh lẻ.

(iv)              Một mạng gồm một số lẻ đỉnh lẻ thì không thể dựng được bởi vì mỗi đường cần bắt đầu tại một đỉnh và kết thúc tại một đỉnh.

118. Nguyên tắc trên được áp dụng như thế nào cho bài toán Bảy chiếc cầu Koenigsberg?

Trong bài toán đó, khi hai cù lao được thay bằng hai điểm A và B, con sông chia tách hai phần đất được kí hiệu là C và D, và bảy chiếc cầu được kí hiệu bằng bảy đường cung, mạng đã cho có dạng như sau:

Vì trong trường hợp này, cả bốn đỉnh đều là lẻ, nên cần có hai hành trình mới đi hết mạng lưới. Một hành trình duy nhất là không thể.

119. Nếu có thêm một cầu nữa bắt qua sông thì sao?

Nếu xây thêm một chiếc cầu nữa bắt qua sông, trên sơ đồ được vẽ bằng nét đứt ở phía cùng bên trái, thì mạng có dạng như sau:

Trong trường hợp này, hai đỉnh C và D đều chẵn, và hai đỉnh kia, A và B, đều là lẻ. Bây giờ một hành trình là đủ, nhưng hành trình đó phải bắt đầu tại một đỉnh lẻ, A hoặc B, và kết thúc tại đỉnh kia.

120. Tại sao bài toán trên lại được đánh giá quan trọng thế?

Bởi vì cùng với đáp số của bài toán đã ra đời một ngành toán học hoàn toàn mới.

Khi Euler giới thiệu lời giải trước Viện hàn lâm nước Nga ở St Petersburg vào năm 1736, không những một bài toán dai dẳng đã được giải mà cùng với nó Topo học đã ra đời.

121. Hình ngôi sao và hình chữ nhật với hai đường chéo thì có đi xuyên qua một lượt được không?

Hình ngôi sao có 10 đỉnh, mỗi đỉnh đều chẵn. Do đó, chẳng khó khăn gì để vẽ nó bằng một nét duy nhất.

Hình chữ nhất với hai đường chéo có 5 đỉnh, gồm bốn đỉnh lẻ và một đỉnh chẵn. Do đó, cần có hai hành trình. Nó không thể được vẽ bằng một nét.

122. Bài toán bốn màu là gì?

Khi tô màu bản đồ, những nước có chung đường biên giới được tô màu khác nhau để phân biệt chúng với nhau.

Kinh nghiệm thông thường là bốn màu là đủ để tô màu bản đồ, cho dù bản đồ đó gồm bao nhiêu nước và đường biên giới của chúng phức tạp như thế nào chăng nữa.

Nhưng để chứng minh thực tế bốn màu là đủ để tô màu bất kì bản đồ nào trên một mặt phẳng hay một mặt cầu là chuyện không đơn giản, và được gọi là bài toán bốn màu.

123. Ba màu là không đủ hay sao?

Thực tế dưới bốn màu là không đủ cho mọi trường hợp sẽ được làm rõ từ bản đồ gồm bốn nước dưới đây, trong đó mỗi nước đều tiếp giáp với ba nước kia.

Một điều cũng đúng là không ai có thể tạo ra một bản đồ có yêu cầu tô nhiều hơn bốn màu.

124. Bài toán bốn màu đã được nêu ra như thế nào?

Nó lần đầu tiên được Mobius nêu ra dưới dạng một bài toán vào năm 1840. Một vài nhà toán học đã bắt tay vào giải, nhưng trong hơn một thế kỉ lời giải vẫn còn tránh né họ!

125. Cuối cùng thì ai chứng minh được nó?

Mãi đến năm 1976 thì Wolf Gang Haken và Kenneth Appel mới có thể chứng minh khẳng định trên, nhưng máy vi tính là một công cụ đắc lực trong chứng minh đó.

Chứng minh tốn vài trang giấy và hết sức khó.

126. Còn những bản đồ vẽ trên mặt vòng xuyến, tức là ống trụ phồng bên trong, thì sao?

Người ta chứng minh được rằng cần bảy màu để tô màu cho bất kì bản đồ nào vẽ trên một mặt vòng xuyến.

Điều này hàm ý rằng trên một mặt như thế, người ta có thể xây dựng các bản đồ gồm bảy vùng trong đó mỗi vùng tiếp giáp với sáu vùng kia!

127. Làm thế nào những khái niệm hình học lại có khả năng áp dụng cho những tình huống đa dạng như thế?

Toán học có được sức mạnh sáng tạo của nó từ trực giác, trong đó hình học là một nguồn phong phú – điều đó lí giải tại sao các khái niệm hình học có khả năng áp dụng cho nhiều tình huống đa dạng.

Ngoài ra, các phương pháp và khái niệm hình học vẫn giữ được lợi thế của chúng thậm chí ở dạng thức trừu tượng.

Hình học cung cấp các mô hình không chỉ của không gian vật lí mà còn của bất kì cấu trúc nào có khái niệm và đặc điểm khớp với khuôn khổ hình học.

128. Trở lại với Euclid! Tại sao Euclid lại tiên đề hóa hình học?

Trước Euclid, hình học chỉ là một tập hợp gồm những kết quả rời rạc không có liên quan gì với nhau.

Mục tiêu của Euclid vì thế là chọn một số lượng nhỏ những giả thiết ban đầu hay tiên đề từ cái mà lĩnh vực hình học đã biết cho đến thời đại của ông cũng như những sự thật hình học chưa được khám phá có thể được suy luận ra từ chúng.

Ông đã tiên đề hóa hình học để hoàn thành nhiệm vụ để đời này.

129. Tác phẩm của Euclid có hoàn hảo logic không?

Trong hơn hai nghìn năm trời, bộ “Cơ sở” của Euclid được xem là thành tựu toán học có địa vị cao nhất, nhưng vào thế kỉ mười chín thì tiêu chuẩn nghiêm khắc trong tư duy toán học đã phát triển lên trình độ cao hơn, và người ta bắt đầu tìm thấy những chỗ hỏng logic trong tác phẩm của Euclid.

Có nhiều chỗ trong đó các kết luận mà Euclid rút ra từ những giả thiết của ông không tuân theo riêng các quy luật logic.

130. Vì sao những chỗ hỏng logic này không được để ý tới trước đó?

Lí do những chỗ hỏng này đã không được các nhà toán học để ý thấy trong suốt một thời gian rất dài là vì các định lí của Euclid luôn có những hình vẽ đi kèm khiến các khẳng định là quá sức hiển nhiên nên chẳng có ai nghi ngờ và kiểm tra để xác nhận. Chính các hình vẽ đã lấp mất những chỗ hỏng logic đó.

Do đó, về sau người ta cảm thấy nên xây dựng hình học trên một hình thức chặt chẽ hơn, trong đó các chứng minh chỉ có giá trị ở dạng logic của chúng, tức là không liên hệ với cách hiểu bình thường của các khái niệm hình học nữa.

131. Phải làm gì để đạt được kết cục này?

Nhà toán học vĩ đại người Đức Hilbert đã tiến hành một khảo sát tiên đề hiện đại như thế của hình học Euclid.

Ông chỉ sử dụng ba thuật ngữ không được định nghĩa – điểm, đường thẳng và mặt phẳng, và sáu quan hệ không được định nghĩa – trên, trong, giữa, đồng dạng, song song và liên tục, và hai mươi mốt tiên đề.

Ông đã định nghĩa toàn bộ những khái niệm khác của hình học, ví dụ như góc, tam giác, đường tròn, vân vân, theo những thuật ngữ nguyên bản hay những khái niệm cơ bản này.

132. Phương pháp tiên đề Hilbert có phải là giải pháp duy nhất cho hình học Euclid không?

Không, có nhiều và có thể có nhiều phương pháp khác nữa. Ví dụ, sau Hilbert vài năm, Oswald Veblen đã đưa ra một cách tiên đề hóa khác chỉ sử dụng các thuật ngữ ‘điểm’, ‘ở giữa’ và ‘đồng dạng’ với một tập hợp các tiên đề hơi khác với của Hilbert.

Có một cách tiên đề hóa khác nữa của E.V. Huntington, ông chỉ sử dụng hai thuật ngữ ‘hình cầu’ và “bao gồm’ cùng với một tập hợp gồm những tiên để hiển nhiên là khác nữa.

133. Phương pháp tiên đề có thích hợp cho các nghiên cứu khác ngoài hình học hay không?

Tác động của phương pháp tiên đề của Euclid đối với các thế hệ nghiên cứu sau đó lớn đến mức nó đã trở thành một kiểu mẫu cho mọi chứng minh chặt chẽ trong toán học.

Vì thế, vào thế kỉ mười chín và đầu thế kỉ hai mươi, nhiều lĩnh vực nghiên cứu đã được phát triển theo hướng ít nhiều mang tính trực giác dựa trên cơ sở tiên đề.

134. Phương pháp tiên đề có thúc đẩy tư duy toán học hay không?

Không, phương pháp tiên đề có thể xem là một hoạt động toán học dựa trên những quan niệm tiền nhận thức, còn toán học là một hoạt động sáng tạo được phát triển độc lập với những quan niệm như thế, do đó phương pháp tiên đề không thể bộc lộ bản chất của tư duy toán học.

135. Vậy đâu là động cơ thúc đẩy việc tiên đề hóa những lĩnh vực khác?

Động cơ mạnh nhất thúc đẩy việc tiên đề hóa những lĩnh vực khác của toán học là khát vọng muốn thiết lập một số lượng nhỏ nhưng vừa đủ những giả thiết ban đầu từ đó tất cả những phát biểu đúng trong những lĩnh vực đó được suy luận ra.

Phương pháp tiên đề này ngày nay được chấp nhận triệt để đến mức một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học thế kỉ hai mươi là sự vận dụng quy mô phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu toán học.

136. Kết quả của sự vận dụng quy mô phương pháp tiên đề hóa này của toán học là gì?

Sự vận dụng rộng rãi này của sự trừu tượng của toán học đã mang lại một khó khăn lớn, đó là vấn đề nhất quán!

Vì một phương pháp tiên đề phải là nhất quán, nên phải có một cách khẳng định rằng một tập hợp những giả thiết đã cho làm cơ sở của hệ thống mới là nội nhất quán để cho không có định lí mâu thuẫn tương hỗ nào có thể được suy luận ra từ tập hợp đó.

Nếu các giả thiết nói về một miền đối tượng quen thuộc nào đó, thì luôn luôn có thể kiểm tra xem chúng có đúng hay không, nhưng trong trường hợp các giả thiết nói về một miền đối tượng mới mẻ và không quen thuộc, thì dường như chẳng có cách nào kiểm tra được tính nhất quán của chúng.

Để làm rõ, các hình học phi Euclid lúc chúng đang được phát triển đã từng bị xem là không biểu diễn bất kì sự thật nào cả.

Có vẻ chẳng có cách nào trả lời cho câu hỏi: Tập hợp các giả thiết Riemann có nhất quán không hay liệu nó sẽ không dẫn tới những định lí mâu thuẫn chứ?

137. Vấn đề nhất quán còn phát sinh ở đâu nữa?

Vấn đề nhất quán còn phát sinh hễ khi một mô hình phi hữu hạn được xét đến vì các mục đích lí giải.

Trong trường hợp các mô hình hữu hạn, tính nhất quán của tập hợp có thể được xác định bằng cách khảo biện hoặc liệt kê nhưng trong trường hợp các mô hình phi hữu hạn thì điều này là không thể.

Và đa số các hệ giả thiết cấu thành nền tảng của những ngành toán học quan trọng chỉ có thể được thỏa mãn bởi các mô hình phi hữu hạn.

138. Hilbert có thành công trong việc xác lập tính nhất quán của các giả thiết Euclid hay không?

Hilbert chọn cách lí giải các giả thiết Euclid theo kiểu được thông qua trong hình học tọa độ Descartes để chúng được biến đổi thành những chân lí đại số. Tính nhất quán của các giả thiết Euclid, do đó, được xác lập bằng cách chứng minh rằng chúng được thỏa mãn bởi một mô hình đại số.

Nhưng phương pháp xác lập tính nhất quán như thế này cho thấy nếu đại số là nhất quán, thì hệ thống hình học của Hilbert cũng nhất quán. Vì thế, chứng minh một hệ nào đó nhất quán chỉ là tương đối chứ không phải một chứng minh tuyệt đối.

139. Nên làm gì tiếp theo để tránh những chứng minh tương đối đó?

Để tránh những chứng minh tương đối của tính nhất quán, Hilbert đề xuất một phương pháp được gọi là siêu toán học. Phương pháp này trang bị tốt cho việc nghiên cứu tính nhất quán lẫn tính hoàn chỉnh.

Vì thế, Hilbert và những nhà toán học khác nuôi hi vọng phát triển mỗi ngành toán học bằng phương pháp tiên đề theo kiểu sao cho nó vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Và chương trình tối hậu là phát triển một khuôn khổ thống nhất cho toàn bộ toán học vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Chương trình này được gọi là “Chương trình Hilbert”.

140. Chương trình Hilbert đã thành công đến đâu?

Luận giải siêu toán học đã được triển khai thành công để xác lập tính nhất quán và hoàn thiện của những hệ bao quát hơn. Ví dụ, một chứng minh tuyệt đối của sự nhất quán đã tiến hành cho một hệ số học cho phép cộng các con số, nhưng không cho phép nhân.

Một vài nỗ lực như thế là tìm cách xây dựng một chứng minh cho phép nhân các con số, nhưng thật bất ngờ, toàn bộ những nỗ lực như thế đều thất bại.

Cuối cùng vào năm 1931, nhà toán học người Áo Kurt Gödel đã chứng minh rằng những nỗ lực như thế nhất thiết phải thất bại.

141. Gödel đã chứng minh điều gì?

hay Những hạn chế của phương pháp tiên đề là gì?

Gödel chứng minh rằng phương pháp tiên đề có những hạn chế cố hữu nhất định về tính nhất quán và tính hoàn chỉnh.

Ông chứng minh rằng tính nhất quán không thể được xác lập trong một hệ gồm toàn số học.

Ông còn chứng minh rằng phương pháp tiên đề có một hạn chế cố hữu nữa, đó là không hoàn chỉnh. Cho trước một tập hợp nhất quán bất kì gồm những tiên đề số học, có những mệnh đề số học đúng không thể được suy luận ra từ tập hợp đó.

142. Có ví dụ nào minh họa cho kết luận này không?

Một ví dụ đơn giản, giả thiết Goldbach, minh họa cho điều vừa nói.

Giả thiết phát biểu rằng mọi con số chẵn (ngoại trừ 2, bản thân nó là số nguyên tố rồi) đều có thể được biểu diễn bằng tổng của hai số nguyên tố.

Như vậy,              4 = 2 + 2,              6 = 3 + 3,              8 = 3 + 5

                                10 = 5 + 5,            12 = 5 + 7,            14 = 7 + 7

                                16 = 5 + 11,          18 = 5 + 13,          20 = 7 + 13,

Tương tự,            50 = 19 + 31,       100 = 3 + 97,       200 = 3 + 197,...

Mặc dù người ta chẳng tìm thấy con số chẵn nào không bằng tổng của hai số nguyên tố, nhưng chưa có ai tìm ra cách chứng minh đúng cho mọi con số chẵn.

Giả thiết trên có vẻ là một mệnh đề đúng nhưng không thể được suy luận ra từ các tiên đề của số học.

143. Liệu một tập hợp tiên đề khác không giải quyết được sao?

Có lẽ nên đề xuất cải tiến hoặc mở rộng các tiên đề để cho định lí này và những định lí có liên quan khác có thể được suy luận ra. Nhưng cho dù chúng ta có bổ sung bất kì số lượng hữu hạn nào của các tiên đề số học, thì hệ thống đã mở rộng đó vẫn không đủ để mang lại mọi chân lí số học.

Sẽ luôn luôn có những chân lí số học khác nữa sẽ không được suy luận ra từ tập hợp đã mở rộng đó. Như vậy, phương pháp tiên đề căn bản là không hoàn chỉnh.

Gödel còn chứng minh rằng đối với những hệ thuộc loại quan trọng nhất, tính nhất quán là không tương thích với tính hoàn chỉnh. Những hệ như thế, nếu nhất quán, thì nhất thiết phải không hoàn chỉnh.

Đồng thời, nếu một hệ là hoàn chỉnh (ví dụ, một hệ chỉ cho phép cộng mà không nhân các con số), nó có thể được chứng minh là không nhất quán.

144. Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là gì?

Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là không có hệ thống logic nào vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh có thể được người ta nghĩ ra.

Trước khi có khám phá này, các nhà toán học đã ấp ủ hi vọng phát triển một cơ sở toán học nhất quán được bao gộp trọn vẹn trong một hệ thống tiên đề.

Khám phá của Gödel đã đặt dấu chấm hết cho một hi vọng như thế.

Như vậy, cái Gödel đã làm với logic học vào năm 1931 chính là cái Heisenberg^* đã làm với vật lí học bởi nguyên lí bất định nổi tiếng của ông trước đó bốn năm, vào năm 1927.

145. Hàm ý của khám phá trên là gì?

Hàm ý là sự mất bình yên bởi vì khám phá trên làm suy yếu niềm tin rằng chân lí toán học là chính xác và hoàn hảo.

Đây là vì chân lí toán học có được sức mạnh của nó từ sự tương tác của các tiên đề gọi là các chứng minh, nhưng khi bản thân phương pháp tiên đề, cái trụ cột cho những chứng minh như thế, chịu sự thẩm tra và ngờ vực, thì bức tranh rõ ràng chuyển sang sắc thái kém tin cậy và ảm đạm.

-----

^*Nguyên lí bất định của Heisenberg hàm ý rằng tác dụng quan sát trên một hạ sơ cấp làm nhiễu loạn nó theo một kiểu không dự đoán được. Nguyên lí này thiết lập giới hạn cho sức mạnh của phương pháp thực nghiệm.

146. Chủ nghĩa hình thức Hilbert có nghĩa là gì?

Sự tiên đề hóa các hệ thống toán học đưa đến quan điểm rằng toán học được xem là một trò chơi thuần túy với những nước đi thuần túy trên giấy tuân theo những quy tắc rõ ràng nhất định. Trò chơi và các nước đi đó được xem là không có ý nghĩa hay cách hiểu gì cả.

Vì thế, các hệ thống được hình thức hóa theo nghĩa này và kết cục là chủ nghĩa hình thức Hilbert.

147. Ưu điểm của chủ nghĩa hình thức này là gì?

Ưu điểm của việc xem những hệ thống toán học là những hệ hình thức là nhờ đó người ta thoát khỏi nhiều câu hỏi rắc rối và không cần thiết, nếu không thì chúng là câu hỏi căn bản và không dễ gì bác bỏ triệt để.

148. Những câu hỏi đó là gì?

Để sáng tỏ, hãy xét những câu hỏi sau đây:

Các con số là gì?

Các con số có tồn tại không?

Làm thế nào chúng ta biết được các quy tắc của các con số là đúng?

Những câu hỏi này khác như vậy là những câu hỏi quan trọng, nhưng trong một hệ hình thức hóa thì chúng trở nên không cần thiết và phải rời khỏi cuộc chơi.

Các công thức của hệ, khi đó, có ý nghĩa bất kì, chúng không đúng cũng chẳng sai, và không đưa ra khẳng định nào về sự tồn tại của bất cứ cái gì.

149. Gödel chứng minh kết quả của ông như thế nào?

Gödel đánh số các kí hiệu, các công thức, và các chuỗi công thức, tức là các chứng minh trong chủ nghĩa hình thức Hilbert theo một kiểu nhất định gọi là đánh số Gödel, và từ đó biến đổi mọi khẳng định thành những mệnh đề toán học.

Phương pháp của ông gồm một tập hợp những quy tắc tạo ra một tương ứng một-một giữa các số nguyên và những kí hiệu đa dạng hoặc các tổ hợp kí hiệu. Khi đó ông có thể chứng minh rằng tính nhất quán của số học là không thể quyết định được bởi bất kì lập luận nào thuộc chủ nghĩa hình thức của số học.

Để tiếp tục chứng minh thật sự, người ta phải quán triệt trước bốn mươi sáu định nghĩa sơ bộ và một vài bổ đề quan trọng.

Chứng minh đó là khó và lập luận quá phức tạp để một người không chuyên toán có thể theo dõi.

150. Nghiên cứu của Gödel chỉ có ý nghĩa tiêu cực thôi hay sao?

Không.

Công trình của Gödel đưa ra một kĩ thuật phân tích mới trong các nền tảng của toán học và làm phát sinh một ngành toán học rất quan trọng, đó là Lí thuyết Chứng minh.

Kĩ thuật thật sự đã đánh thức sự hoạt động sôi nổi trong ngành logic toán và kết cục của nó khó mà nói trước được.

Công trình của Gödel thật ra đã khích lệ, chứ không làm thoái chí sự sáng tạo toán học.

151. Bài học do khám phá to lớn này mang lại là gì?

Khám phá để đời này làm sáng tỏ những hạn chế cố hữu của phương pháp suy luận. Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.

Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.

Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.

152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?

Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.

Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.

153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh?

Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.

Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trở đối với công dụng của nó.

154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu?

Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.

Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học.

Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.

Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.

155. Cái gì là thích đáng cho các ứng dụng của toán học?

Cái thích đáng hay quan trọng cho các ứng dụng là các tiên đề và các khái niệm của một hệ thống toán học phải ăn khớp với các phát biểu về các đối tượng có thật và phải có thể xác nhận những phát biểu đó trên phương diện vật lí.

Kết quả của Gödel chẳng có liên quan gì đến các ứng dụng của toán học. Nó là kết quả của một nghiên cứu có chiều sâu về những nền tảng của toán học nói chung và sự tồn tại toán học nói riêng.

156. Tồn tại toán học có ý nghĩa chính xác là gì?

Chúng ta đã thấy các điểm và các đường thẳng của hình học là các trừu tượng của các đối tượng vật lí của chúng và không nhất thiết tương đồng với chúng.

Tương tự như vậy, các thực thể toán học không nhất thiết phải liên hệ gần gũi với các vật thể của thế giới vật chất.

Điều này cho thấy tồn tại toán học khác với tồn tại vật lí như thế nào.

Trong các ứng dụng của toán học, nếu mô hình vật lí khớp với mô hình toán học, thì các kết quả toán học có thể được tận dụng, nhưng sự tương ứng hoàn toàn giữa hai bên là không nhất thiết.

Các ứng dụng có liên quan với tồn tại vật lí nhưng các mô hình toán học thì chỉ quan tâm đến tồn tại toán học.

157. Tập hợp gồm những tiên đề nào là đủ cho đại số ở trường phổ thông?

Đại số ở nhà trường chủ yếu xử lí các con số. Tính chất của những con số và các toán tử thường gặp trên chúng có thể được phát triển từ tập hợp gồm những tiên đề sau đây:

1. Với hai con số bất kì, tổng của chúng được xác định duy nhất.

2. Với hai con số bất kì, tích của chúng được xác định duy nhất.

3. Tồn tại một số 0 có tính chất a + 0 = a.

4. Với mỗi số a, tồn tại một số x sao cho a + x = 0.

5. Phép cộng có tính giao hoán, tức là a + b = b + a.

6. Phép cộng có tính kết hợp, tức là a + (b + c) = (a + b) + c.

7. Phép nhân có tính giao hoán, tức là ab = ba.

8. Phép nhân có tính kết hợp, tức là a(bc) = (ab)c.

9. Phép nhân có tính phân phối, tức là a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca.

10. Với mỗi số a và b khác không, tồn tại một số x duy nhất sao cho bx = a.

Bất kì hệ đại lượng nào thỏa mãn mười điều kiện này được gọi là một trường.

Các ví dụ của trường là tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, và tập hợp số phức.

Trong mỗi trường hợp này, khi cộng và nhân các số thuộc tập hợp cho ta một con số cũng thuộc tập hợp đó, và các toán tử thỏa mãn mười điều kiện trên.

Ngoài những ví dụ này, có nhiều đại lượng khác của tự nhiên cũng tạo thành một trường. Các phân thức đại số, chẳng hạn, cũng tuân theo mười điều kiện này và vì thế tạo thành một trường.

158. Các hệ thống tiên đề mới được tạo ra như thế nào?

Có thể thu được những hệ thống tiên đề mới bằng cách loại trừ một hoặc nhiều tiên đề của một hệ thống đã cho.

Ví dụ, bằng cách bỏ đi tiên đề 7, chúng ta có một hệ tuân theo đại số ma trận, trong đó tích của hai ma trận phụ thuộc vào trật tự chúng được đem nhân.

Cũng có thể thu được những hệ thống tiên đề mới từ một hệ đã cho bằng cách thay đổi một hoặc nhiều tiên đề của nó theo một kiểu thích hợp.

Sự ra đời của một hệ tiên đề cho hình học phi Euclid từ các tiên đề của hình học Euclid, bằng cách thay thế tiên đề hai đường song song bởi một trong những phủ nhận của nó, là một ví dụ cho cách thu về một hệ thống tiên đề mới theo kiểu này.

Hết Chương 1

***********************************

Chương 2

Đại số và Các loại đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học theo hình thức tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (sự tính/số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên bài học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian arithmetic đã biến thành lí thuyết của những con số.

3. Số học là một trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người đối với sự trừu tượng.

Như vậy, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu (1, 2, 3,...) và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu 2 + 3 = 5 có đúng cho mọi loại vật hay không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm 2 giọt nước vào 3 giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt 2 con hổ và 3 con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt 3 con thỏ cùng đường mạt lộ kia.

Một ví dụ nữa, một lực bằng 2 đơn vị và một lực khác bằng 3 đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa 1 và 5 đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng 5 đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng 4 đơn vị nếu góc giữa chúng bằng 75,5 độ.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, √2 là một số vô tỉ.

Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.

Một số phức là một con số bất kì có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i² = - 1.

6. Các số siêu việt là gì?

Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.

e và π là những số như thế.

e = 2,71828...;                    π= 3,14159...

các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.

Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là α^β là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ.

Như vậy, 2^√3, 3^√2, 5^√3 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết α^βcó siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ e^e, π^π hoặc π^e có là siêu việt hay không.

Tuy nhiên, e^iπ = - 1 là một kết quả rất đẹp.

7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.

Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.

Như vậy,              4² – 1 = (4 + 1) (4 – 1).

                                5² – 1 = (5 + 1) (5 – 1),

                                6² – 1 = (6 + 1) (6 – 1).

Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4, 5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.

Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau

x² – 1 = (x + 1) (x – 1).

Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.

8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?

Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.

Các kí hiệu x, y, z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.

Như vậy x + x = 2x, và x + y = y + x

cho dù x và y biểu diễn con số nào.

9. Đại số có được khái quát hóa không?

Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.

Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.

Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.

Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.

Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.

10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?

Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.

11. Đại số trừu tượng là gì? Có phải nó là một sự khái quát hóa hơn nữa?

Trong đại số trừu tượng, ngay cả những thực thể này cũng mất hết ý nghĩa của chúng về phương diện độ lớn và người ta nói tới những “phần tử” khái quát hơn trên đó những toán tử tương tự các toán tử đại số có thể được thực hiện.

Một ví dụ của những phần tử như thế là hai chuyển động tác dụng liên tiếp nhau hợp lại sẽ tương đương với một chuyển động.

Để minh họa, kí hiệu chuyển động quay của một hình vuông quanh tâm của nó 90^o là R₁, 180^olà R₂ và 270^o là R₃, thì chuyển động quay R₁ rồi đến R₂ sẽ tương đương với một chuyển động R₃.

Một ví dụ nữa là hai phép biến đổi đại số sẽ tạo ra cùng một kết quả với một phép biến đổi đại số.

Để minh họa, kí hiệu phép tịnh tiến là T₁ và T₂ là phép quay, thì biến đổi T₁ rồi đến T₂ sẽ tương đương với một phép tịnh tiến T₃.

Do đó, nếu với một tập hợp nhất định của các “vật”, kí hiệu bằng những chữ cái, những toán tử nhất định có thể được định nghĩa theo những quy tắc nhất định, thì người ta nói một hệ thống đại số đã được định nghĩa. Vì thế, đại số học được nhận dạng là việc nghiên cứu những hệ thống đại số đa dạng, và khi đó nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề.

12. Vì sao nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề?

Nó là trừu tượng bởi vì chúng ta không quan tâm các chữ cái trong hệ thống đại số đó kí hiệu cho cái gì. Cái quan trọng là các tiên đề hay các quy tắc phải được thỏa mãn bởi các toán tử. Và nó có tính tiên đề bởi vì nó được xây dựng đơn thuần từ các quy tắc hay các tiên đề được phát biểu lúc ban đầu.

Hai hệ thống đại số như thế được gọi là nhóm và vành.

Tên gọi thoạt nghe có chút lạ lẫm, nhưng hiểu qua chút ít sẽ làm dịu đi phản ứng ban đầu đó. Chúng ta sẽ trở lại với chúng ở phần sau.

13. Những lĩnh vực nghiên cứu nào sử dụng đại số tiên đề?

Topo học, giải tích hàm, cơ học lượng tử và vật lí đương đại là một vài cái tên thuộc một vài lĩnh vực quan trọng, trong đó đại số tiên đề tỏ ra là công cụ khảo sát có sức mạnh nhất.

14. Số học là lí thuyết của những con số! Lí thuyết của những con số nghiên cứu cái gì?

Lí thuyết sơ cấp của những con số nghiên cứu cái sau đây:

Các hợp số và các quy tắc chia hết, số nguyên tố và sự xuất hiện của chúng, định lí cơ bản của số học, định lí Fermat, định lí Wilson, định lí cuối cùng của Fermat.

Các số Pythagoras,

Tính chất của những con số lớn,

Những con số được nói tới ở đây là số tự nhiên hoặc số nguyên dương.

15. Hợp số và số nguyên tố là gì?

Một số con số có thể được phân tích thành những thừa số nhỏ hơn, ví dụ 15 = 3 × 5, nhưng 11 hoặc 17 thì không phân tích được.

Các số có thể phân tích được thành những thừa số nhỏ hơn được gọi là hợp số, còn những số không thể phân tích được như thế được gọi là số nguyên tố.

16. Còn số 1 thì sao? Nó có phải là số nguyên tố không?

Một số nguyên tố là số có ước số là 1 và chính nó.

Ví dụ, số nguyên tố 7 có hai ước số, 1 và 7, mặc dù người ta gọi chúng là những ước số tầm thường.

Vì thế, nếu 1 là số nguyên tố thì nó sẽ có đúng hai ước số. Nếu 1 là hợp số, thì nó sẽ có nhiều hơn hai ước số. Nhưng số 1 có đúng một ước số thôi, cho nên nó không phải là số nguyên tố, cũng chẳng phải là hợp số.

17. Các quy tắc chia hết là gì?

Sau đây là các quy tắc chia hết. Người ta học chúng ở nhà trường.

1. Một số là chia hết cho 2, nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2. Như vậy, những số kết thúc với 0, 2, 4, 6, hoặc 8 là chia hết cho 2, như trong 530 và 138.
2. Một số là chia hết cho 4, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 4, như trong 300 và 528.
3. Một số là chia hết cho 8, nếu ba chữ số tận cùng bên phải là 000 hoặc chia hết cho 8, như trong 3000 và 3240.
4. Một số là chia hết cho 5, nếu chữ số tận cùng bên phải là 0 hoặc 5, như trong 240 và 235.
5. Một số là chia hết cho 25, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 25, như trong 300 và 425.
6. Một số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 3, như trong 231.

Ở đây 2 + 3 + 1 = 6, tổng chia hết cho 3, vì thế 231 chia hết cho 3.

Ta dễ dàng thấy được nguyên nhân như sau:

231         = 2 × 100 + 3 × 10 + 1

                = 2 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 1

                = 2 × 99 + 2 × 1 + 3 × 9 + 3 × 1 + 1

                = 2 × 99 + 2 + 3 × 9 + 3 + 1

                = (2 × 99 + 3 × 9) + (2 + 3 + 1)

                = (một bội của 9) + (tổng các chữ số).

Do đó, một con số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số của nó là chia hết cho 3.

7. Một số là chia hết cho 9, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 9, như trong 477.

Ở đây, 4 + 7 + 7 = 18, tổng chia hết cho 9, nên 477 chia hết cho 9.

Lí do trong trường hợp này cũng tương tự như với trường hợp chia hết cho 3.

8. Một số là chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng của các chữ số thứ tự lẻ và tổng các chữ số thứ tự chẵn bằng 0 hoặc bằng bội của 11.

Xét con số 1 8 3 9 5 5 2.

Tổng các chữ số thứ tự lẻ là 1 + 3 + 5 + 2 = 11,

Tổng các chữ số thứ tự chẵn là 8 + 9 + 5 = 22,

Hiệu bằng 22 – 11 = 11, chia hết cho 11,

nên 1 8 3 9 5 5 2 chia hết cho 11.

18. Còn những quy tắc nào khác nữa không?

Vâng, có những quy tắc hấp dẫn như sau:

1. Tích của hai số bằng tích của ước chung lớn nhất của chúng và bội chung nhỏ nhất của chúng.
   Như vậy, nếu hai số là 12 và 18, thì ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng tương ứng là 6 và 36, và 12 × 18 = 6 × 36 = 216.
2. Tích của hai số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2, tức là n(n + 1) là chia hết cho 2, trong đó n là số nguyên bất kì.
3. Tích của ba số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2), là chia hết cho 2 × 3, tức là 6.
4. Tích của bốn số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là chia hết cho 2 × 3 × 4, tức là 24.
5. Tích của r số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2 × 3 × 4 × ... × r, hay r! .
   Tích 1.2.3...r được gọi là r giai thừa, và được kí hiệu là r!
6. Với mọi số lẻ n, số n² – 1 là chia hết cho 8.
   Nếu n là một số lẻ, thì n – 1 phải chẵn và chia hết cho 2. Đồng thời, n + 1 là số chẵn liền sau và, do đó, chia hết cho 4. Vì thế, tích này chia hết cho 8.

19. Có bao nhiêu số nguyên tố?

Có vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 100, xếp theo thứ tự là:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Một vài số nguyên tố lớn hơn 100 là:

101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...

20. Có nguyên tố lớn nhất không?

Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.

21. Euclid đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn về số lượng như thế nào?

Lập luận chứng minh như sau:

Nếu chỉ có một số lượng hữu hạn số nguyên tố, thì phải có một số nguyên tố lớn nhất, ví dụ là P, khi đó thì số

(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × ... ×P) +1

sẽ cho số dư là 1 khi chia mỗi số 2, 3, 5, 7, 11,..., P.

Do đó, con số trên không thể chia hết cho bất kì số nguyên tố nào trong những số này. Như vậy, nó phải là một số nguyên tố hoặc có thể được chia hết bởi một số nguyên tố lớn hơn P. Dù là trường hợp nào thì P chẳng phải là số nguyên tố lớn nhất. Vì thế, có số lượng vô hạn các số nguyên tố.

22. Phương pháp nào dùng để tính ra số nguyên tố?

Phương pháp tính số nguyên tố đến số N bất kì khá đơn giản. Trước tiên, chúng ta viết tất cả các số từ 1 đến N,

1, 2, 3, 4,..., N

sau đó xóa đi, trước tiên là số 1, rồi đến tất cả những số bội của 2 ngoại trừ 2, rồi đến tất cả những số là bội của 3 ngoại trừ 3, rồi đến tất cả những số là bội của 5 ngoại trừ 5, rồi đến tất cả những số là bội của 7 ngoại trừ 7, và cứ thế. Các bội số của 4, 6,... đã bị xóa trước đó. Những số còn lại khi ấy sẽ là số nguyên tố.

23. Các số nguyên tố phân bố như thế nào?

Mặc dù vô hạn về số lượng, nhưng con số càng lớn thì chúng ta càng hiếm gặp số nguyên tố hơn. Nhưng sự phân bố của chúng là cực kì không đều, bởi vì trong khi hai số nguyên tố liên tiếp có thể chỉ sai khác nhau 2, nhưng hai số nguyên tố liên tiếp cũng có thể sai khác nhau đến một triệu.

Ví dụ, xét các số 10! + 2, 10! + 3, 10! + 4,..., 10! + 10 lần lượt chia hết cho 2, 3, 4,..., 10. Theo cách này, chúng ta có thể tạo ra nhiều hợp số liên tiếp như chúng ta muốn, cho dù một triệu hoặc nhiều hơn, trong đó không có số nào là số nguyên tố. Mặt khác, các số nguyên tố 1.000.000.009.649 và 1.000.000.009.651 chỉ sai khác nhau 2.

24. Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa một con số bất kì và số gấp đôi của nó?

Giữa một con số bất kì lớn hơn 1 và số gấp đôi của nó luôn luôn có ít nhất một số nguyên tố.

Joseph Bertrand đã ước chừng kết quả này và đã xác nhận nó theo kiểu kinh nghiệm bằng những bảng kê đến những con số rất lớn, nhưng nó thật sự được chứng minh là bởi Chebychev.

25. Có bao nhiêu số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước?

Một ước đoán số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một con số cho trước cũng đã được nêu ra.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, tức là có 8 số, nên ta nói p(20) = 8.

Tương tự, p(100) = 25, p(200) = 46, p(300) = 62, p(400) = 78, p(500) = 95, p(600) = 109, p(700) = 125, p(800) = 139, p(900) = 154, p(1000) = 168.

Danh sách có thể tiếp tục đến vô hạn, nhưng không thể tìm được một công thức đơn giản cho p(x), trong đó p(x) là kí hiệu cho số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x.

26. Định lí số nguyên tố là gì?

Định lí số nguyên tố phát biểu rằng đối với giá trị x lớn, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn x xấp xỉ bằng x/logx, trong đó phép tính logarithm là logarithm tự nhiên.

Định lí được phỏng đoán bởi Gauss vào năm 1793, nhưng được chứng minh bởi Hadamard và de la Valle’e Poussin vào một thế kỉ sau đó, năm 1896.

27. Có công thức nào cho ra tất cả các số nguyên tố hay không?

Không. Người ta đã tốn nhiều công sức để tìm một công thức sẽ cho ra mọi số nguyên tố, nhưng chẳng có ai thành công.

Có thể nhắc lại một số trường hợp.

Biểu thức n² + n + 17 là số nguyên tố với mọi giá trị của n từ 1 đến 16,

2n² + 29 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 28,

n² – n + 41 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 40,

và n² – 79n + 1601 hay (n – 40)² + (n – 40) + 41 là số nguyên tố với các giá trị của n từ 1 đến 79.

Dirichlet đã chứng minh rằng mỗi chuỗi số

an + b, n = 0, 1, 2,3,...

trong đó a, b là hai số nguyên dương không có ước số chung lớn hơn 1, có chứa một số lượng vô hạn số nguyên tố.

Ví dụ, có vô hạn số nguyên tố có dạng 6n + 1, mặc dù, tất nhiên, không phải số nào như thế cũng là số nguyên tố. Với n = 4, 6n + 1 bằng 25, không phải là số nguyên tố.

Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng không có công thức đại số dạng hữu tỉ nào có thể chỉ biểu diễn số nguyên tố.

28. Có phải mọi số nguyên tố đều giống nhau?

Có hai dạng số nguyên tố.

Tất cả số nguyên tố ngoại trừ 2 đều có dạng hoặc 4n – 1 hoặc 4n + 1.

Trong số này, mỗi số nguyên tố có dạng 4n + 1 có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương duy nhất. Ví dụ, 5 = 1² + 2², 13 = 2² + 3², 17 = 1² + 4², 29 = 2² + 5², 953 = 13² + 28².

Tuy nhiên, nếu một số có dạng 4n + 1 có thể được biểu diễn là tổng của hai bình phương theo hai cách khác nhau, thì nó không thể là số nguyên tố. Ví dụ, 545 = 17² + 16² = 23² + 4², và 545 không phải là số nguyên tố.

Không có số nguyên nào dạng 4n – 1 có thể bằng tổng của hai bình phương, ví dụ 11 hay 23 không thể nào được biểu diễn như thế.

29. Những câu hỏi nào về số nguyên tố cho đến nay chưa được giải đáp?

Hai câu hỏi trông đơn giản liên quan đến số nguyên tố nhưng chưa được giải đáp là như sau:

Một là có hay không một vô hạn số nguyên tố thuộc dạng n² + 1, trong đó n là số nguyên.

Nếu chúng ta cho n nhận liên tiếp các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... thì (n² + 1) nhận các giá trị 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101,... Trong số này có một số là số nguyên tố còn số khác thì không. Câu hỏi đặt ra là đến lúc nào thì quá trình này dừng cho ra số nguyên tố.

Hai là phỏng đoán của Goldbach khẳng định rằng mỗi số chẵn lớn hơn 2 bằng tổng của hai số nguyên tố, ví dụ 40 = 11 + 29. Giả thiết đã được xác nhận bởi những bảng kê số nhưng chưa từng được chứng minh.

30. Định lí cơ bản của số học! Nó là gì?

Một tính chất mà mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có là hoặc nó là số nguyên tố, hoặc nó có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố theo cách duy nhất.

Kết quả cho mỗi số nguyên được phân tích thành tích của các thừa số duy nhất như thế này được gọi là định lí cơ bản của số học.

Ví dụ, 30 có thể được phân tích thành 2 × 3 × 5 và không có cách nào khác, một trật tự sắp xếp khác của các thừa số, ví dụ 3 × 2 × 5, không được xem là một phân tích thừa số khác.

Định lí này còn được gọi là định lí phân tích thành thừa số duy nhất. 

31. Số nguyên tố sinh đôi là gì?

Một hiện tượng thú vị là sự xuất hiện của những cặp số nguyên tố còn gọi là số nguyên tố sinh đôi.

Một cặp sinh đôi là một cặp số nguyên tố có hiệu bằng 2, ví dụ như 11 và 13.

Các cặp số nguyên tố nhỏ hơn 1000, xếp theo thứ tự, là:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), và (881, 883).

32. Có phải các số nguyên tố sinh đôi cũng vô hạn về số lượng?

Ba mươi lăm cặp số vừa nêu ở trên là nằm giữa 1 và 1000. Nhưng danh sách có thể tiếp tục kéo dài đến vô hạn.

Một cặp sinh đôi khác là (4049, 4051).

Một cặp khác nữa là (1.000.000.009.649, 1.000.000.009.651).

Người ta ước đoán rằng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là vô hạn, nhưng chưa ai chứng minh được.

33. Tính chất chung cho các số nguyên tố sinh đôi là gì?

Mọi cặp số nguyên tố, trừ ngoại lệ là cặp số đầu tiên, tức cặp (3,5), có một tính chất chung nổi bật là tổng các số trong cặp luôn luôn chia hết cho 12.

Ví dụ, cặp (5,7) có tổng bằng 12, cặp (11,13) có tổng bằng 24, cặp (17,19) có tổng bằng 26, và vân vân, mỗi tổng đều chia hết cho 12.

34. Một hợp số có bao nhiêu ước số?

Đặt N = a^pb^qc^r là một hợp số, trong đó a, b, c là những số nguyên tố khác nhau, và p, q, r là các số nguyên dương.

Số lượng ước số khi đó là (p + 1)(q + 1)(r + 1).

Làm thế nào có được?

Xét tích số

(1 + a + a² + ... + a^p) (1 + b + b² + ... + b^q) (1 + c + c² + ... + c^r).

Tổng các số hạng trong tích này là (p + 1)(q + 1)(r + 1) và mỗi số hạng trong tích trên là một ước số của con số đã cho. Vì thế, số lượng ước số là (p + 1)(q + 1)(r + 1).

Đồng thời, không còn số nào khác có thể là ước số.

Trong các ước số này đã tính luôn cả 1 và số N.

35. Tính chất này được khái quát hóa như thế nào?

Nếu N = a^pb^qc^rd^s..., thì số lượng ước số tương tự sẽ là (p + 1)(q + 1)(r + 1)(s + 1)..., trong đó đã tính cả 1 và số N.

36. Số 30 có bao nhiêu ước số, và chúng bằng bao nhiêu?

Vì 30 = 2 × 3 × 5 = 2¹ × 3¹ × 5¹,

nên số lượng ước số = 2 × 2 × 2 = 8.

Các ước số đó là 2, 3, 5, 6, 10, 15; 1 và 30.

37. Số 7056 có bao nhiêu ước số?

Vì 7056 = 2⁴ × 3² × 7²,

nên số lượng ước số = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 × 3 = 45.

Nếu trừ đi hai ước số tầm thường 1 và 7056 thì số lượng ước số đích thực = 43.

38. Làm thế nào xác định số mũ cao nhất của một số nguyên tố chứa trong n! ?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ phương pháp xác định.

Chúng ta hãy tìm số mũ cao nhất của 3 trong 100!, tức là tích 1.2.3....100.

Số nguyên 3 chỉ xuất hiện trong các số nguyên 3, 6, 9,...,99, tức là mỗi số nguyên chia hết cho 3.

Do đó, số lượng của chúng được cho bởi thương số của 100 và 3, tức là 33.

3 xuất hiện lần thứ hai trong các số nguyên 9, 18, 27,...,99, số lượng của chúng bằng thương của 100 chia 9, tức là 11.

3 xuất hiện lần thứ ba trong số nguyên 27, 54, 81.

Số lượng của chúng bằng thương số 100 chia 27, tức là 3.

3 xuất hiện lần thứ tư chỉ trong số 81.

Vì thế số mũ cao nhất cần tìm bằng 33 + 11 + 3 + 1 = 48.

Như vậy, để tìm số mũ cao nhất của một số nguyên tố p chứa trong n!, chúng ta tìm thương số của n chia lần lượt cho p, p², p³,... rồi cộng chúng lại.

Tương tự, ta có thể tìm số mũ cao nhất của 7 chứa trong 1000! là 164.

39. Định lí Fermat là gì?

Nếu p là một số nguyên tố, và N là số nguyên tố cùng nhau với p, thì N^{p – 1} – 1 là một bội số của p.

Đây chính là định lí Fermat.

Vì N là số nguyên tố cùng nhau với p, nên có thể nhân biểu thức trên với N, và chúng ta có được kết quả sau:

N^p – N là chia hết cho p với mỗi số nguyên tố p.

Như vậy, n² – n là chia hết cho 2.

Nói bằng lời, kết quả này có nghĩa là hiệu giữa bình phương của một số và chính số đó luôn luôn là một số chẵn.

Tương tự, n³ – n, n⁵ – n, n⁷ – n, n¹¹ – n,... lần lượt chia hết cho 3, 5, 7, 11,..., nhưng những kết quả tương tự không đúng đối với n⁴ – n, n⁶ – n,... vì 4, 6 không phải là số nguyên tố.

40. Nhưng làm thế nào n⁵ – n chia hết cho 3, chứ không riêng chia hết cho 5?

Vì 5 là số nguyên tố, do đó theo định lí Fermat n⁵ – n là chia hết cho 5.

Mặt khác,

n⁵ – n = n (n⁴ – 1)

           = n (n² – 1) (n² + 1)

           = n (n – 1) (n + 1) (n² + 1)

           = (n – 1) n (n + 1) (n² + 1)

(n – 1) n (n + 1) là kí hiệu cho tích của ba số tự nhiên liên tiếp, và chia hết cho 3! hoặc 6. Do đó, n⁵ – n là chia hết cho 5 × 6, tức là 30.

Lập luận tương tự, ta có n⁷ – n còn chia hết cho 7 × 6, tức là 42, chứ không riêng chia hết cho 7.

41. Từ định lí Fermat còn suy ra được những kết quả gì khác?

Ta suy ra được những kết quả sau đây:

1. 1.Mỗi số chính phương là có dạng 5n hoặc 5n ± 1, trong đó n là một số nguyên dương.
2. 2.Mỗi số có căn bậc ba nguyên là có dạng 9n hoặc 9n ± 1.
3. 3.Một số vừa là chính phương vừa có căn bậc ba nguyên thì có dạng 7n hoặc 7n + 1.

42. Định lí Wilson là gì?

Định lí Wilson phát biểu rằng:

Số (n – 1)! + 1 là chia hết cho n, nếu và chỉ nếu n là số nguyên tố.

Ví dụ, với n = 5, (n – 1)! + 1 bằng 25 chia hết cho 5, vì 5 là số nguyên tố.

Nhưng nếu n = 6, thì (n – 1)! + 1 bằng 121 không chia hết cho 6, vì 6 không phải là số nguyên tố.

43. Người ta sử dụng phép quy nạp toán học như thế nào để chứng minh tính chia hết?

Phương pháp quy nạp toán học trong đó chúng ta đi từ phát biểu riêng đến phát biểu khái quát thỉnh thoảng có thể được sử dụng để chứng minh một số kết quả về tính chia hết.

Lấy ví dụ, chúng ta chứng minh rằng 3²ⁿ – 2n – 1 là chia hết cho 2, với mọi giá trị nguyên dương của n.

Ta hãy kí hiệu biểu thức trên là f(n), khi đó

f(n) = 3²ⁿ – 2n – 1                             (1)

biến đổi n thành n + 1 ta có

f(n + 1) = 3²ⁿ⁺² – 2(n + 2) – 1

             = 9. 3²ⁿ – 2n – 3                    (2)

Nhân (1) với 9, rồi lấy (2) trừ (1), ta được

f(n + 1) – 9f(n) = – 2n – 3 – 9 (–2n – 1)

                         = –2n – 3 + 18 n + 9

                         = 16n + 6

                         = 2 (8n + 3)

Do đó, nếu f(n) chia hết cho 2, thì f(n + 1) cũng chia hết cho 2.

Cụ thể, f(1) = 3² – 2 – 1 = 6, chia hết cho 2, nên f(2) chia hết cho 2, rồi f(3) cũng vậy, cứ thế. Như vậy, kết quả là đúng cho mọi trường hợp.

Những kết quả sau đây có thể được chứng minh tương tự:

i) 10ⁿ + 3.4²⁺² + 5 là chia hết cho 9

ii) 3⁴ⁿ⁺² + 5²ⁿ⁺¹ là chia hết cho 14

iii) 3²ⁿ⁺² – 8n – 9 là chia hết cho 64

iv) 3²ⁿ⁺⁵ + 160n² – 56n – 243 là chia hết cho 512

v) 5²ⁿ⁺² – 24n – 25 là chia hết cho 576.

44. Các số Pythagoras là gì?

Các số nguyên dương x, y, z được gọi là số Pythagoras nếu chúng thỏa mãn phương trình: x² + y² = z².

Hai ví dụ quen thuộc của những số như thế là 3, 4, 5 và 5, 12, 13.

Ở đây ta có 3² + 4² = 5², và 5² + 12² = 13².

Các số Pythagoras luôn làm thành ba cạnh của một tam giác vuông.

Đặc điểm nổi bật nhất của tam giác vuông được cho bởi định lí Pythagoras. Định lí phát biểu rằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền.

Theo định lí Pythagoras, 3² + 4² = 5².

Các số như vậy được cho bởi

x = m² – n²

y = 2mn

z = m² + n²

Trong đó m, n là hai số nguyên dương bất kì, và m lớn hơn n.

45. Còn tổng lũy thừa cao nhất của các số nguyên thì sao? Hay định lí cuối cùng của Fermat là gì?

Một động thái tự nhiên là tìm kiếm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

x³ + y³ = z³

x⁴ + y⁴ = z⁴

x⁵ + y⁵ = z⁵, và vân vân.

Tất cả những trường hợp này được gộp chung lại như sau:

Tìm các số nguyên x, y, z sao cho xⁿ + yⁿ = zⁿ ,trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Vào khoảng năm 1637, Fermat đã dành thời gian nghiên cứu bài toán này và đi tới kết luận rằng không thể tìm được những số nguyên như thế.

Kết quả này được gọi là định lí cuối cùng của Fermat.

Ông có đề cập rằng ông đã tìm ra một cách chứng minh không thể chối cãi của kết quả này, nhưng lề của quyển sách chỗ ông viết là quá hẹp để ghi nó ra. Fermat có thói quen ghi lại một số ý tưởng của ông trên lề của những quyển sách toán của ông.

46. Phép chứng minh đó có được tìm thấy lại hay không?

Một số nhà toán học trong hơn ba trăm năm qua đã cố gắng tìm lại phép chứng minh đó nhưng chẳng có ai thành công.

Định lí đã được chứng minh cho một vài giá trị của n, và người ta chưa tìm thấy ngoại lệ nào, nhưng một chứng minh tổng quát đúng cho mọi giá trị của n cho đến nay vẫn còn né tránh các nhà toán học.

47. Mỗi số nguyên dương có thể được biểu diễn theo tổng của bốn bình phương hay không?

Một tính chất thú vị đúng cho mọi số nguyên dương là mỗi số nguyên như thế có thể được biểu diễn ở dạng x² + y² + z² + u², các giá trị bằng 0 của x, y, z, u là không thể tránh khỏi.

Ví dụ,

1 = 0² + 0² + 0² + 1²

2 = 0² + 0² + 1² + 1²

3 = 0² + 1² + 1² + 1²

4 = 1² + 1² + 1² + 1²

5 = 0² + 0² + 1² + 2²

6 = 0² + 1² + 1² + 2²

7 = 1² + 1² + 1² + 2²

Vân vân.

50 = 0² + 0² + 1² + 7²

234 = 2² + 5² + 6² + 13²

2011 = 13² + 16² + 19² + 35²

Vân vân.

48. Các biểu diễn như trên có là duy nhất hay không?

Không. Có thể biểu diễn một con số theo kiểu như vậy bằng nhiều cách. Ví dụ

10007    = 99² + 14² + 3² + 1²

                = 74² + 65² + 15² + 9²

= 62² + 59² + 51² + 9²

49. Những kết quả như thế có tồn tại cho số mũ nguyên 3 và số mũ cao hơn hay không?

Các nghiên cứu đã được thực hiện theo chiều hướng này kể từ năm 1770 và các kết quả liên tục được cải thiện.

Những kết quả thu được cho đến nay đủ để phát biểu rằng mỗi số nguyên N đủ lớn là tổng của 9 mũ 3, 19 mũ 4, 41 mũ 5, 87 mũ 6, 193 mũ 7, 425 mũ 8, 949 mũ 9 hoặc 2113 mũ 10.

Giới hạn trên của số N chưa được xác định, nhưng nó phải là rất lớn.

50. Giả thiết Goldbach về những con số lớn là gì?

Vào năm 1742, Goldbach đã nêu giả thiết rằng mỗi con số lẻ N đủ lớn có thể được biểu diễn bằng tổng của ba số nguyên tố, tức là

Số lẻ N = p₁ + p₂ + p₃

nhưng giả thiết thật ra được chứng minh bởi Vinogradov vào năm 1937.

Nếu chúng ta cộng thêm 3 vào hai vế của biểu thức liên hệ này, thì ta có

Số chẵn N = p₁ + p₂ + p₃ + 3

tức là mỗi con số chẵn đủ lớn có thể được biểu diễn bằng tổng của bốn số nguyên tố.

Người ta còn biết rằng mỗi số nguyên đủ lớn là tổng của tối đa 20 số nguyên tố.

51. Đại số là lí thuyết của các phương trình! Giải phương trình có nghĩa là gì?

Xét những bài toán sau đây:

1. Tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Hồi 10 năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?
2. Tiền của A nhiều gấp đôi tiền của B. Sau khi mỗi người xài 10 rupee, A nhận thấy tiền của anh gấp bốn lần tiền của B. Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu tiền?
3. A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi bao xa?

Thực thể chưa biết như tuổi, tiền và quãng đường đi trong những bài toán này được gán cho tên gọi x và bài toán được phát biểu theo kí hiệu x đó.

Phát biểu như thế này về x thường liên hệ hai biểu thức bởi một dấu bằng, vì thế nó được gọi là phương trình. Phương trình này là đúng đối với giá trị hoặc những giá trị nhất định của biến x, và không đúng với những giá trị khác.

Giải phương trình có nghĩa là xác định những giá trị của biến x để cho phương trình nghiệm đúng. Ví dụ, phương trình 4x = 12 chỉ đúng với x = 3, nên 3 được gọi là nghiệm của phương trình 4x = 12.

52. Những bài toán này được giải như thế nào?

Trong bài toán 1,

Ta gọi tuổi của B là x.

Thì tuổi của A là 2x.

Mười năm trước, tuổi của A phải là (2x – 10).

Và tuổi của B là (x – 10).

Theo bài toán, tuổi của A bằng bốn lần tuổi của B:

(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.

Vậy tuổi của B là 15, và tuổi của A gấp đôi tuổi của B: 30.

Trong bài toán 2, ta giả sử B có x rupee, thì tiền của A là 2x rupee.

Sau khi xài 10 rupee, A còn lại (2x – 10) rupee, B còn lại (x – 10) rupee.

Theo bài toán, tiền của A lúc này bằng bốn lần tiền của B:

(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.

Tiền của B là 15 rupee, và tiền của A gấp đôi của B: 30 rupee.

Trong bài toán 3,

Ta giả sử B đi x dặm, thì A đi 2x dặm.

Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm thì quãng đường A đi được là (2x – 10), và B đi được (x – 10) dặm.

Theo bài toán, quãng đường của A bằng bốn lần quãng đường của B:

(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.

Vậy B đi được 15 dặm và A đi được 15 dặm.

53. Nói phương trình là một mô hình toán học thì có nghĩa là gì?

Ba bài toán ở trên liên quan đến những thực thể rõ ràng khác nhau như tuổi, tiền và quãng đường đi, nhưng cùng một phương trình, tức là (2x – 10) = 4 (x – 10) là phương tiện cần thiết để giải chúng.

Như vậy, phương trình là một mô hình toán học có nhiều điểm chung với bài toán nên nghiệm của nó cũng là nghiệm của bài toán. Như vậy, trong khi chúng ta chỉ giải mô hình, nhưng bài toán cũng đã được giải.

54. Mô hình “có nhiều điểm chung” với bài toán có nghĩa là sao? Có phải mô hình không đại diện hoàn toàn cho bài toán?

Tập hợp số tự nhiên 1, 2, 3,... là ví dụ đơn giản nhất của một mô hình toán học. Nó được sử dụng để đếm các vật khi mà toàn bộ tính chất của các vật đó bị bỏ qua, trừ số lượng của chúng.

Nhưng nếu những yếu tố khác được xét đến, thì chúng có thể dẫn tới những kết luận kì lạ hoặc bất ngờ như câu chuyện dưới đây sẽ làm rõ.

Trong lớp bình dân học vụ ở một ngôi làng nọ, người thầy dạy đang cố gắng giảng giải phép toán trừ như sau:

Thầy: Có 11 con cừu, 7 con nhảy ra khỏi chuồng thì sẽ còn lại mấy con?

Trò: Không còn con nào cả!

Thầy: Vì sao vậy? Nếu 7 con chạy qua bên này rồi thì bên kia còn lại 4 con chứ! Sao lại không còn con nào?

Mấy người học trò vẫn chưa chịu thôi.

Trò: Trời ơi, có lẽ thầy biết làm toán đó. Nhưng thầy không hiểu mấy con con cừu rồi!

55. Thủ tục giải các bài toán đại số là gì?

Để giải các bài toán, chúng được chuyển thành các phương trình. Cách giải các phương trình là chủ để trọng tâm của đại số học, phần tiếp theo sẽ giới thiệu ngắn gọn về chúng.

56. Phương trình bậc nhất là gì?

Một phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó x là một thực thể chưa biết, được gọi là một phương trình bậc nhất.

Nó có thể được giải một cách dễ dàng.

Nếu ax + b = 0 thì ax = - b và x = - b/a.

Trong những bài toán đã nêu ở trên, phương trình 2x = 30 là một phương trình bậc nhất.

57. Phương trình bậc hai là gì?

Một phương trình bậc hai thì có dạng ax² + bx + c = 0.

Nó có hai nghiệm, mặc dù đôi khi hai nghiệm đó trùng nhau.

58. Phương trình bậc hai được giải như thế nào?

Công cụ chính để giải phương trình bậc hai là một công thức được suy luận ra như sau:

Trước tiên, chia mỗi số hạng của phương trình cho a. Số hạng c/a được chuyển sang vế bên kia cùng với dấu trừ và sau đó cộng b²/4a² vào cả hai vế, rồi lấy căn bậc hai cả hai vế, tức là

ax² + bx + c = 0

59. Những phương pháp nghiệm này đã được phát triển khi nào?

Người ta tin rằng các phương trình bậc nhất đã được giải bởi người Ai Cập vào khoảng 4000 năm trước. Phương trình bậc hai đã được giải bởi người Hindu vào thời cổ xưa, còn các phương trình tổng quát bậc ba và bậc bốn chỉ mới được giải bởi các nhà đại số học người Italy vào thế kỉ 16.

60. Một phương trình có bao nhiêu nghiệm?

Một phương trình bậc nhất thì có một nghiệm, bậc hai có hai nghiệm, bậc ba có ba nghiệm, và cứ thế số nghiệm theo bậc của phương trình.

Vào giai đoạn đầu của lịch sử toán học, người ta chỉ công nhận nghiệm dương của các phương trình, còn nghiệm âm bị xem là sai.

61. Có phải mọi phương trình đại số đều có nghiệm thực?

Không. Có những phương trình như x² + 1 = 0 không có nghiệm thực nào.

Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm là i và – i, trong đó i là kí hiệu của √-1, tức là căn bậc hai của – 1.

Có thể nói rằng mỗi phương trình bậc hai có hai nghiệm, cái cần thiết là công nhận tồn tại số phức – cái đã có thời người ta phủ nhận.

Một con số có dạng a + it được gọi là số phức. Nếu a = 0 thì con số đó đôi khi được gọi là số ảo.

Nhưng phương trình x² – 2 = 0 thì có hai nghiệm thực, √2 và – √2.

Những nghiệm như thế đã gây khó khăn cho các nhà toán học, cho đến khi số vô tỉ được thừa nhận là một tập số.

62. Mở rộng hệ thống số thì có lợi gì? Hay định lí cơ bản của đại số học là gì?

Với hệ thống số mở rộng bao gồm toàn bộ số tự nhiên, phân số, số âm, số vô tỉ và số phức, người ta đã có thể phát biểu một định đề rất quan trọng và đẹp đẽ gọi là định lí cơ bản của đại số học.

Nó phát biểu rằng mọi phương trình đại số bậc n với các hệ số thực hoặc hệ số phức luôn luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc nghiệm phức.

Nó được gọi là định lí cơ bản của đại số học bởi vì khi nó được Gauss chứng minh lần đầu tiên vào năm 1799, nghiên cứu đại số học chỉ mới hạn chế với lí thuyết của các phương trình. Mặc dù định lí cực kì quan trọng nhưng tên gọi như thế không còn hợp lí trước sự thay đổi to lớn về bản chất và quy mô của đại số học.

Một hệ quả rất hữu ích của định lí này là mỗi phương trình đại số bậc n không phải có một mà có chính xác n nghiệm. Tất nhiên, ở đây ta giả sử rằng một nghiệm trùng lắp cũng được đếm là một nghiệm.

63. Tại sao định lí cơ bản của đại số học được gọi là định lí tồn tại?

Nó được gọi là định lí tồn tại vì nó chỉ đơn giản cho chúng ta biết số lượng nghiệm tồn tại đối với một phương trình cho trước, chứ nó không đề cập tới phương pháp xác định nghiệm.

64. Định lí này có đúng cho mọi loại phương trình không?

Không. Định lí chỉ đúng đối với các phương trình đại số vì có tồn tại những phương trình phi-đại số không có nghiệm gì cả!

Ví dụ, phương trình a^x = 0, trong đó a là một số thực, không có nghiệm nào hết!

65. Những phương trình nào được gọi là phi-đại số?

Sau đây là một vài phương trình phi-đại số:

(i)                  x + log₁₀x = 5

(ii)                e^x – 3x = 0

(iii)               x² + 4 sinx = 0

Những phương trình này là phi-đại số vì chúng chứa các biểu thức logarithm, lũy thừa hoặc lượng giác.

66. Hệ thống số có được khái quát hóa vượt ra ngoài số phức hay không?

Đã có những nỗ lực khái quát hóa thêm khái niệm số nhưng không thành công cho lắm.

Các quaternion và số siêu phức đã được phát minh để có sự khái quát hóa như thế.

67. Quaternion là gì?

Một quaternion là một kí hiệu thuộc loại a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là các số thực, và i, j, k là các kí hiệu toán tử.

Tổng của hai quaternion được định nghĩa đơn giản. Ví dụ, tổng của hai quaternion

x = x₀ + x₁i + x₂j + x₃k

và y = y₀ + y₁i + y₂j + y₃k

là x + y = (x₀ + y₀) + (x₁ + y₁)i + (x₂ + y₂)j + (x₃ + y₃)k.

Tích của hai quaternion được định nghĩa bằng cách sử dụng luật phân phối và những quy ước sau đây:

i² = j² = k² = - 1

ij = - ji = k

jk = - kj = i

ki = - ik = j

Chúng được phát minh bởi William R. Hamilton.

68. Số siêu phức là gì?

Một số siêu phức được kí hiệu bởi biểu thức

E₁x₁ + E₂x₂ +… + E_nx_n,

trong đó x₁, x₂,…, x_n là các số thực, và E₁, E₂,…, E_n­ là các kí hiệu toán tử.

Nó còn được gọi là vector n chiều, và được sáng tạo bởi Grassmann, một người đương thời với Hamilton.

Lí thuyết số siêu phức bao hàm các quaternion, nên các quaternion có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của số siêu phức.

69. Tại sao những mở rộng này của hệ thống số ít được biết tới?

Có nhiều lí do.

Các nhà vật lí và các nhà toán học ứng dụng thấy chúng quá khái quát và phức tạp cho những nhu cầu hằng ngày của họ.

Thứ hai, một công cụ toán học đơn giản hơn nhiều gọi là Giải tích Vector đã được phát triển, do sức mạnh to lớn của nó mà nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu như mỗi ngành vật lí toán và nhiều lĩnh vực khác.

Thứ ba, các quy ước mà Hamilton sử dụng để định nghĩa tích của hai quaternion hay các quy tắc mà Grassmann lập ra để kết hợp hai số siêu phức không thỏa mãn sức mạnh của tính hợp thức của toán học.

70. Vậy câu hỏi cần trả lời là gì: Khái niệm số có được mở rộng thêm vượt ra ngoài hệ số phức hay không?

Câu trả lời là Không, và đó là một bước ngoặc lớn.

Weierstrass đã chứng minh vào khoảng năm 1860, và sau này được Hilbert chứng minh đơn giản hơn nữa, rằng không thể có sự khái quát hóa nào thêm nữa theo xu hướng đặc biệt này.

Chúng ta đã đi tới cuối con đường.

71. Phương trình bậc ba là gì và nó được giải như thế nào?

Phương trình bậc ba tổng quát có dạng

x³ + ax² + bx + c = 0                          (1)

Trước tiên nó được biến đổi thành một phương trình bậc ba có dạng

y³ + py + q = 0                                    (2)

phương trình không chứa số hạng bình phương của biến.

Việc này được tiến hành một cách dễ dàng bằng cách đặt x = y – a/3.

Bây giờ giả sử y = u + v,

rồi lập phương cả hai vế:

                y³ = u³ + v³ + 3uv (u + v)

hay         y³ = u³ + v³ + 3uv y

                                thay y cho u + v

hay         y³ – 3 uvy – (u³ + v³) = 0                                 (3)

So sánh phương trình (2) và (3) ta có

72. Ai đã phát triển phương pháp giải này?

Phương pháp giải phương trình bậc ba này thường được gọi là phương pháp Cardan.

Cardan thu được nó từ một nhà toán học khác tên là Tartaglia với lời hứa giữ bí mật nhưng ông đã công bố nó là thành quả của riêng ông trong quyển sách của ông vào năm 1545.

Cardan và Tartaglia đều là người Italia.

73. Phương trình bậc ba có các hệ số được giải như thế nào?

Chúng ta hãy thử giải phương trình sau đây:

x³ + 6x² + 9x + 4 = 0

Trước tiên, đặt x = y – 2, khi đó phương trình đã cho biến đổi thành

(y – 2)³ + 6 (y – 2)² + 9 (y – 2) + 4 = 0

hay đơn giản lại là y³ – 3y + 2 = 0.

Bây giờ đặt y = u + v, thì y³ – 3 uvy – (u³ + v³) = 0, rồi lập phương cả hai vế.

Þ uv = 1, và u³ + v³ = – 2, khi so sánh với y³ – 3y + 2 = 0

hay         u³ + v³ = – 2, và u³v³ = 1.

Do đó, u³ và v³ là nghiệm của phương trình

t² – (tổng các nghiệm) t + (tích các nghiệm) = 0

hay         t² + 2t + 1 = 0,

hay         (t + 1)² = 0, cho t = – 1, – 1.

Þ u³ = – 1, và v³ = – 1; cho u = – 1, và v = – 1.

Þ y = u + v = – 2

Vì y = – 2 là một nghiệm của phương trình y³ – 3 y + 2 = 0

Þ y + 2 phải là một hệ số của phương trình này.

Chia phương trình cho y + 2, ta được phương trình bậc hai

y² – 2y + 1 = 0, hay (y – 1)² = 0, cho y = 1, 1.

Þ y = – 2, 1, 1.

Vì x = y – 2, nên cuối cùng ta có x = – 3, – 1, – 1.

74. Phương pháp này có luôn cho ra nghiệm hay không?

Trong trường hợp phương trình bậc ba có hệ số, phương pháp này chỉ cho ra nghiệm khi phương trình bậc ba hoặc có hai nghiệm ảo, hoặc có hai nghiệm bằng nhau, và nó không tìm ra nghiệm của phương trình bậc ba có cả ba nghiệm thực và không bằng nhau.

Phương trình bậc ba thuộc loại vừa nói được giải bằng cách sử dụng lượng giác và các phương pháp gần đúng.

75. Phương trình bậc bốn được giải như thế nào?

Một ví dụ sẽ làm sang tỏ nhất phương pháp giải nghiệm.

Xét phương trình

x⁴ – 10 x³ + 35 x² – 50 x + 24 = 0

Phương pháp giải trước tiên biểu diễn vế trái là hiệu của hai bình phương, sau đó là tích của hai phương trình bậc hai.

Ta có      x⁴ – 10 x³ + 35 x² – 50 x + 24 = 0

hay         x⁴ – 10 x³ = – 35 x² + 50 x – 24

hay         x⁴ – 10 x³ + 25 x² = – 10 x² + 50 x – 24

hay         (x² – 5 x)² = – 10 x² + 50 x – 24

Đưa thêm λ vào vế trái, rồi cân bằng với vế phải, ta được

(x² – 5 x + λ)² = (– 10 x² + 50 x – 24) + λ² + 2λ (x² – 5 x)

hay         (x² – 5 x + λ)² = (2λ – 10) x² + (50 – 10 λ) x + λ² – 24

Áp dụng điều kiện các số hạng ở vế phải tạo nên một số chính phương, ta được cái gọi là lập phương bổ trợ theo λ, từ đó có thể tính ra λ.

Ở đây, λ có thể được xác định dễ dàng hơn bằng cách xét rằng vì các số hạng ở vế phải tạo nên một số chính phương, nên (2x – 10) và (λ² – 24) cũng phải là một số chính phương.

Do đó, ta đặt (2x – 10) lần lượt bằng 1, 4, 9, 16,... và thấy giá trị của l làm cho λ² – 24 cũng là một số chính phương.

Đặt 2x – 10 = 4 hay λ = 7 cho λ² – 24 = 25, đó là một số chính phương, và ta được

(x² – 5x + 7)² = 4x² – 20x + 25

hay         (x² – 5x + 7)² = (2x – 5)²

hay         x² – 5x + 7 = ± (2x – 5)

suy ra    x² – 5x + 7 = 2x – 5, và x² – 5x + 7 = – 2x + 5,

tức là x² – 7x + 12 = 0, và x² – 3x + 2 = 0.

Đây là hai phương trình bậc hai, giải chúng cho ta tương ứng x = 3, 4 và x = 1, 2.

Do đó, nghiệm của phương trình bậc bốn đã cho là 1, 2, 3, và 4.

76. Ai đã phát triển phương pháp này và khi nào?

Phương pháp giải phương trình bậc bốn này được nêu ra vào năm 1540 bởi Ferrari, một nhà toán học người Italia và là học trò của Cardan.

77. Phương pháp giải phương trình bậc bốn của Descartes là gì?

Vào năm 1637, Descartes nêu ra một phương pháp giải khác với Ferrari. Ông giải phương trình bằng cách biểu diễn nó bằng tích của hai tam thức bậc hai.

Phương pháp này có thể áp dụng khi phương trình khuyết số hạng chứa x³, hoặc loại trừ nó bằng những thay thế thích hợp.

Ví dụ sau đây làm rõ cho phương pháp.

Xét phương trình

x⁴ – 2x² + 8x – 3 = 0

Giả sử x⁴ – 2x² + 8x – 3 = (x² + kx + l) (x² + kx – m),

sau đó đơn giản và cân bằng các hệ số giống nhau,

ta có

Sử dụng đồng nhất thức

(m + l)² – (m – l)² = 4ml

để loại trừ m, n ra khỏi những phương trình này, ta được

(k – 2)² – 64/k² = - 12

Đơn giản, ta được k⁶ – 4k² + 16k² – 64 = 0.

Đây là phương trình bậc ba theo k², và nó được thỏa mãn bởi k² = 4, hay k = ± 2.

Đặt k = 2 ta có

78. Còn phương pháp giải phương trình tổng quát bậc năm thì sao?

Sau khi có được phương pháp giải phương trình bậc ba và bậc bốn, nhiều nhà toán học danh tiếng đã tiếp tục nỗ lực giải phương trình bậc năm. Họ đã cố gắng không mệt mỏi trong hơn hai thế kỉ rưỡi mà không có chút thành công nào.

79. Phải chăng phương trình bậc năm là không thể giải được bằng cách đưa nó về phương trình bậc bốn?

Chúng ta đã thấy rằng lời giải của một phương trình phụ thuộc vào lời giải của một phương trình bậc thấp hơn. Sử dụng nguyên lí này, một nhà toán học người Pháp, Lagrange, đã cố giải phương trình bậc năm nhưng nó lại dẫn ông tới một phương trình bậc sáu. Đây là một dấu hiệu gián tiếp rằng một phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng những phương pháp như thế. Lagrange đã bỏ qua gợi ý đó.

80. Abel đã chứng minh cái gì?

Abel, một nhà toán học người Na Uy, vào năm 1824 đã chứng minh kết quả nổi bật rằng phương trình đại số tổng quát có bậc cao hơn bốn là không thể giải được bằng cách khai căn.

81. Nhưng một số phương trình có bậc cao hơn bốn như x⁶ – 1 = 0 hoàn toàn có thể giải được bằng cách khai căn!

Các phương trình như x⁶ – 1 = 0, x­⁸ – 2 = 0, xⁿ – a = 0 hoàn toàn có thể giải được bằng cách khai căn mặc dù mỗi phương trình này có bậc cao hơn bốn. Không chỉ những phương trình này, mà còn nhiều phương trình khác có bậc tùy ý, chúng có thể được giải bằng phương pháp khai căn, cho nên vấn đề lúc này là xác định những điều kiện chính xác cho tính giải được của một phương trình theo căn thức.

82. Ai đã xác định được những điều kiện chính xác này?

Một nhà toán học người Pháp tên là Galois, ông qua đời trong một trận thách đấu phi lí lúc ở tuổi 21, đã đào sâu vấn đề và đã chứng minh vào năm 1831 rằng một phương trình đại số là có thể giải được theo căn thức nếu và chỉ nếu nhóm Galois của nó là có thể giải được. Phần chứng minh đó quá khó để trình bày ở đây.

83. Khi nào thì những phương pháp gần đúng được sử dụng?

Mặc dù một phương trình tổng quát có bậc cao hơn bốn là không thể giải được theo căn thức, nhưng nghiệm của một phương trình bất kì với các hệ số dạng số có thể được tìm ra đến độ chuẩn xác bất kì bởi cái gọi là những phương pháp gần đúng.

Có sẵn nhiều phương pháp và các phương pháp khác nhau thích hợp cho những phương trình khác nhau.

84. Những phương pháp này có thích hợp cho phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn không?

Những phương pháp như thế thích hợp hơn cho việc giải các phương trình bậc ba và phương trình bậc bốn có các hệ số dạng số.

85. Một phương trình bậc ba được giải theo phương pháp đó như thế nào?

Phương pháp thông qua ở đây là thích hợp nếu phương trình đã cho có thể suy giản về dạng

x = a + Φ (x),

trong đó a là một con số nào đó, và Φf(x) là một đại lượng nhỏ phụ thuộc vào x.

Một nghiệm gần đúng được cho bởi x = a.

Đưa x = a vào vế phải của phương trình đã cho, ta thu được một gần đúng thứ hai,

x = a + Φ (a), trong đó Φ (a) là thay thế cho x trong Φ (x).

Kí hiệu giá trị này là a₁, ta có một gần đúng thứ ba

x = a + Φ (a₁)

và cứ thế, cho đến khi nghiệm đạt tới mức độ chuẩn xác theo yêu cầu.

86. Phương trình sau đây được giải như thế nào: x³ + 3x² + 2 = 0?

Chia cho x², phương trình đã cho có thể viết lại là

x = - 3 - 2/x², có dạng x = a + Φ (x)

Một gần đúng thứ nhất là x = – 3.

Phương trình này chỉ có một nghiệm thực. Hai nghiệm kia là ảo.

87. Các nghiệm của một phương trình được định vị như thế nào?

Khi một phương trình có nhiều hơn một nghiệm thực, để xác định tất cả các nghiệm, cần định vị chúng một cách gần đúng trước khi giá trị của chúng có thể được xác định đến độ chuẩn xác cần thiết.

Xét phương trình

8x³ – 100x² + 342x – 315 = 0

Cho x nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5,… và duyệt qua giá trị của biểu thức ở vế trái. Ta hãy gọi nó là P, thì

P = 8x³ – 100x² + 342x – 315

Khi          x = 0,     P = – 315

                x = 1,     P = – 65

                x = 2,     P = 33

                x = 3,     P = 27

                x = 4,     P = – 35

                x = 5,     P = – 105

                x = 6,     P = – 135

                x = 7,     P = – 77

                x = 8,     P = 120

Từ trên ta thấy khi x tăng từ 1 lên 2, P tăng từ – 65 lên 33. Bắt đầu từ một giá trị âm – 65, trước tiên P phải thu được một giá trị bằng không, và chỉ khi đó nó mới có thể tăng đến một giá trị dương 33. Do đó, P sẽ nhận một giá trị bằng không với một giá trị nào đó của x giữa 1 và 2.

Tương tự, khi x tăng từ 3 lên 4, giá trị của P giảm từ 27 xuống – 35. Do đó, một lần nữa P sẽ nhận một giá trị bằng không với một giá trị nào đó của x giữa 3 và 4.

Tiếp theo, khi x tăng từ 4 lên 7, P vẫn giữ nguyên dấu và không nhận một giá trị bằng không nào ở giữa khoảng đó.

Cuối cùng, khi x tăng từ 7 lên 8, giá trị của P tăng từ – 77 lên 120. Do đó, một lần nữa P sẽ nhận một giá trị bằng không với một giá trị nào đó của x giữa 7 và 8.

Vì một giá trị bằng không của P ứng với một nghiệm của phương trình, nên phương trình đã cho chỉ có các nghiệm giữa 1 và 2, giữa 3 và 4, và giữa 7 và 8.

Trong trường hợp đã cho, P nhận giá trị bằng không với x = 1,5; 3,5 và 7,5; đó là nghiệm của phương trình đã cho.

88. Hệ phương trình là gì?

Khi hai hoặc nhiều phương trình được thỏa mãn bởi những giá trị giống nhau của những đại lượng chưa biết, thì chúng được gọi là hệ phương trình.

Một ví dụ của hệ phương trình gồm hai biến, x và y, là

3x + 4y = 18,

5x + 7y = 31.

89. Chúng được giải như thế nào?

Người ta giải những phương trình như thế ở nhà trường trước tiên bằng cách loại trừ x hoặc y.

Ở đây có thể loại trừ y bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 7, và phương trình thứ hai với 4, sau đó trừ nhau. Như vậy,

7 nhân vào phương trình I cho ta: 21x + 28y = 126,

4 nhân vào phương trình II cho ta: 20x + 28y = 124.

Trừ nhau cho ta x = 2.

Thay giá trị của x vào một trong hai phương trình đã cho, ví dụ thay vào phương trình thứ nhất, ta được

6 + 4y = 18,

hay 4y = 12, hay y = 3.

90. Hệ phương trình chứa ba biến được giải như thế nào?

Phương pháp giải hệ phát triển chứa nhiều hơn hai biến là tương tự như trên.

Ví dụ,    x + y + 3z = 12,

                2x + 3y + 4z = 20,

                3x + 2y + 5z = 22,

Trước tiên loại z ra khỏi hai phương trình đầu, sau đó loại ra khỏi hai phương trình cuối. Làm như vậy mang lại cho ta hai phương trình chỉ chứa hai biến, x và y. Hai phương trình này có thể được giải bình thường.

Như vậy,

4 nhân vào phương trình I cho ta:             4x + 4y + 12z = 48,

3 nhân vào phương trình II cho ta:            6x + 9y + 12z = 60,

Trừ hai phương trình:                                     - 2x –5y = - 12

                Hay                                                        2x + 5y = 12                        (A)

Làm lại lần nữa,

5 nhân vào phương trình II cho ta:            10x + 15y + 20z = 100,

4 nhân vào phương trình III cho ta:          12x + 8y + 20z = 88,

Trừ hai phương trình:                                     - 2x + 7y = 12,

                Hay                                                        2x - 7y = - 12.                      (B)

Giải hệ gồm (A) và (B) như bình thường, ta được x = 1, y = 2.

Thay giá trị của x và y vào phương trình thứ nhất, ta được z = 3.

Như vậy, ta có x = 1, y = 2, z = 3.

91. Phương trình vô định nghĩa là gì?

Nếu số lượng biến nhiều hơn số lượng phương trình, thì người ta nói các phương trình đó là vô định.

Những phương trình như thế có vô số nghiệm.

Ví dụ, xét phương trình 3x + y = 10.

Nó có thể được viết là y = 10 – 3x.

Ở đây, tương ứng với một giá trị bất kì của x, y có một giá trị.

Như vậy, phương trình trên có vô số nghiệm.

Nhưng nếu phương trình trên chỉ được giải theo nghiệm nguyên dương, thì số lượng nghiệm là hữu hạn.

92. Làm thế nào giải tìm nghiệm nguyên dương cho phương trình: 3x + y = 10?

Phương trình đã cho có thể viết là y = 10 – 3x.

Vì y phải là một số nguyên dương, nên x chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 hoặc 3. Nếu x được gán một giá trị lớn hơn 3 thì y trở thành âm.

Vì thế, sau đây là các nghiệm dương của phương trình đã cho:

                x = 0, y = 10;

                x = 1, y = 7;

                x = 2, y = 4;

                x = 3, y = 1.

93. Phương trình Diophantine là gì?

Các phương trình vô định còn được gọi là phương trình Diophantine để tôn vinh nhà toán học người Hi Lạp cổ đại Diophantus, người đầu tiên trình bày có hệ thống về những phương trình như thế, và đã thể hiện kĩ năng xuất sắc khi giải chúng.

94. Cái gì làm phát sinh những phương trình như thế và chúng được giải quyết như thế nào?

Những bài toán thuộc loại sau đây dẫn tới các phương trình vô định.

Bài toán: Một người chi ra 414 rupee để mua bút mực và bút chì. Nếu mỗi cái bút mực giá 13 rupee và mỗi bút chì giá 11 rupee, thì anh ta sẽ mua mỗi loại bao nhiêu cái?

Gọi x là số lượng bút mực, và y là số lượng bút chì, thì

13x + 11y = 414,                                (1)

trong đó x và y là các số nguyên dương.

Sau đây là phương pháp giải:

Chia phương trình cho 11, hệ số nhỏ nhất trong hai hệ số, khi đó

Bây giờ ta nhân (2x – 7) với một số nguyên sao cho hệ số của x sai khác một đơn vị với 11 hoặc bội của 11.

Một số nguyên như vậy trong trường hợp này là 6.

(Cần sử dụng một thủ thuật tương tự trước khi đưa vào một kí hiệu cho số nguyên đó.)

Nhân (2x – 7) với 6, ta có

Do đó, x = 11p + 9                                            (2)

Thay giá trị này của x vào (1):

y = 27 – 13p                                                        (3)

Từ (3) ta thấy nếu p lớn hơn 2, thì y trở thành âm. Các giá trị nguyên dương của x và y, do đó, chỉ có thể thu được bằng cách đặt p = 0, 1 và 2.

Như vậy, nghiệm đầy đủ được cho bởi

                p = 0,     x = 9,     y = 27;

                p = 1,     x = 20,   y = 14;

                p = 2,     x = 31,   y = 1.

95. Bài toán cây tre gãy của Bhaskar là gì?

Bhaskaracharya, nhà toán học danh tiếng người Hindu đã đưa ra bài toán này trong tác phẩm nổi tiếng của ông, Lilavati.

Nó có dạng như sau: Nếu một cây tre cao 32 cubit bị gió làm gãy sao cho ngọn tre chạm đất cách gốc tre 16 cubit, thì chỗ bị gãy cách mặt đất bao nhiêu?

Định lí Pythagoras được sử dụng để giải bài toán này.

Giả sử cây tre AC bị gãy tại chỗ có độ cao x so với đất:

AB = x, BC = 32 – x = BD, AD = 16

Khi đó, theo định lí Pythagoras:

AB² + AD² = BD²

Hay        x² + 16² = (32 – x)²

Hay        x² + 256 = 1024 – 64 x + x²

Hay        64x = 768,            hay x = 12 cubit.

Cây tre bị gãy tại độ cao 12 cubit so với đất.

(Cubit là một đơn vị đo chiều dài thời xưa, một cubit bằng khoảng 18 đến 22 inch.)

Xác thực:

AB + BC = 12 + 20 = 32

AB² + AD² = BD²

12² + 16² = 20²

96. Bài toán con công và con rắn của Bhaskar là gì?

Đó là một bài toán khác được Bhaskaracharya trình bày trong quyển sách Lilavati của ông. Nó cũng sử dụng định lí Pythagoras, nhưng nó dẫn tới một phương trình vô định.

Bài toán có dạng như sau:

Một con công đang đậu trên cái cột tại cửa hang của một con rắn. Nhìn thấy con rắn cách cái cột gấp ba lần chiều cao của cột, con công bổ xuống con rắn theo một đường thẳng trước khi nó có thể bò tới miệng hang. Nếu con công và con rắn có quãng đường đi bằng nhau, thì chỗ chúng gặp nhau cách miệng hang bao nhiêu cubit?

Kí hiệu miệng hang của con rắn là A. Gọi AB là cái cột, và con công đậu tại B, và con rắn ở D.

Gọi chỗ chúng gặp nhau là C, cách miệng hang x cubit. Đặt y là chiều cao của cái cột, khi đó

AC = x, AB = y, AD = 3y (đã cho)

và CD = 3y – x = B , Þ BC = CD (đã cho).

Theo định lí Pythagoras,

AB² + BC² = AC²

Hay        y² + x² = (3y – x)²

Hay        y² + x² = 9y² – 6xy + x²

Hay        8y² – 6xy = 0

Hay        2y (4y – 3x) = 0

Chia cho 2y, ta được

4y – 3x = 0

Hay        x = (4/3) y

Đây là một phương trình vô định có nhiều nghiệm.

Một vài nghiệm là

                Nếu       y = 3, x = 4;

                Nếu       y = 6, x = 8;

                Nếu       y = 9, x = 12, vân vân.

97. De Morgan, sống vào thế kỉ 19, từng nêu câu đố sau đây về tuổi của ông:

Tôi x tuổi vào năm x². Hỏi tôi sinh năm bao nhiêu?

Câu đố là một câu hỏi nêu ra có vẻ bí hiểm.

Bình phương các tuổi có thể được lập như sau. Bắt đầu với 40, ta có

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

Vì De Morgan sống vào thế kỉ 19, tức là trong giai đoạn 1801-1900, nên ông 43 tuổi vào năm 1849, và do đó, ông sinh vào năm 1806.

98. Các hệ phương trình vô định được giải như thế nào?

Khi cho hai phương trình vô định theo ba biến, thì một biến bất kì, ví dụ z, được loại trừ và ta thu được một phương trình vô định hai biến.

Phương trình đó được giải như thường lệ.

Xét bài toán sau đây:

Chi phí cho một bữa tiệc 44 người là 451 rupee. Nếu mỗi người đàn ông chi 15 rupee, mỗi phụ nữ chi 12 rupee và mỗi trẻ em chi 5 rupee, thì có bao nhiêu người thuộc mỗi nhóm?

Gọi x, y, z lần lượt là số lượng đàn ông, phụ nữ và trẻ em, thì ta có

x + y + z = 44                                                       (1)

15x + 12y + 5z = 451                                         (2)

Nhân phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ khỏi phương trình thứ hai để loại trừ z, ta được

10x + 7y = 231                                                    (3)

Đây là một phương trình hai biến và có thể giải cho các giá trị nguyên dương như thông thường.

Chia phương trình cho hệ số nhỏ là 7, ta được

Thay giá trị này của x vào (3), ta được y = 33 – 10p.

Thay x và y vào (1) ta được z = 3p + 11.

Bây giờ, p chỉ có thể nhận các giá trị 1, 2 và 3, bởi vì các giá trị lớn hơn của p khiến y bị âm.

Như vậy, nghiệm đầy đủ được cho bởi

p = 1, x = 7, y = 23, z = 14;

p = 2, x = 14, y = 13, z = 17;

p = 3, x = 21, y = 3, z = 20.

99. Phương trình sau đây được giải như thế nào theo nghiệm dương:

2xy – 4x² + 12x – 5y = 11?

Phương trình đã cho có thể được viết là

2xy – 5y = 4x² – 12x + 11

hay (2x – 5)y = 4x² – 12x + 11

Biểu diễn y theo x, ta được

Vì ± 1, ± 2, ± 3 và ± 6 là những ước số duy nhất của 6, nên

2x – 5 = ± 1, ± 2, ± 3 và ± 6.

Trong số này 2x – 5 = ± 2 và ± 6 không mang lại giá trị nguyên của x, và buộc phải loại bỏ.

2x – 5 = ± 1 và 2x – 5 = ± 3 cho x = 3, 2, 4 và 1.

Những giá trị này cho ta:

x = 3, y = 11;       x = 2, y = - 3;

x = 4, y = 9;          x = 1, y = - 1.

Trong số này, các nghiệm có thể nhận là

x = 3, y = 11;       x = 4, y = 9.

100. Phương trình vô định tổng quát bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai: Ny² + 1 = x²,

trong đó N là một số nguyên dương nhưng không phải số chính phương, được gọi là phương trình vô định tổng quát bậc hai.

Nó luôn có thể được giải theo nghiệm nguyên dương, số lượng nghiệm là không hạn chế.

Phương pháp giải nghiệm hơi khó và không thích hợp để nêu ra ở đây.

101. Phương trình 61y² + 1 = x² có gì nổi bật?

Đây là một trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát vừa nói ở trên, trong đó N nhận giá trị 61.

Bhaskaracharya, nhà toán học vĩ đại người Hindu, nổi tiếng với việc thu được nghiệm nguyên tổng quát của phương trình này bởi cái gọi là “phương pháp tuần hoàn”.

Để minh họa cho phương pháp đó, trong quyển sách của ông, “Bija ganita”, được viết vào năm 1150, ông đã nêu ví dụ 61y² + 1 = x².

Cái nổi bật là 500 năm sau đó, bài toán này lại được nhà toán học lỗi lạc người Pháp Fermat nêu ra cho người bạn của ông, Frenicle, vào năm 1657.

Nhưng rồi nó được Euler giải vào năm 1732.

Bhaskaracharya nêu ra nghiệm sau đây:

x = 1, 776, 319, 049,

y = 22, 615,390

102. Phương trình phi đại số xe^x = 2 được giải như thế nào?

Nó được giải tốt nhất bằng đồ thị.

Phương trình đã cho có thể được biểu diễn ở dạng hai phương trình độc lập

y = e^x và y = 2/x.

Hai phương trình này kết hợp lại là tương đương với phương trình đã cho: xe^x = 2.

Tọa độ x của giao điểm của hai đường cong sẽ cho ra giá trị cần tìm của x.

Để vẽ đường cong y = e^x, ta sử dụng các giá trị

khi          x = 0       y = 1

                x= 1        y = e¹ = 2,7

                x = 2       y = e² = 7,3

Để vẽ đường cong y= 2/x, ta sử dụng các giá trị

khi          x = 0,5   y = 4

                x= 1        y = 2

                x = 2       y = 1

                x= 3        y = 0,6

                x = 4       y = 0,5

Hai đường cong này được vẽ chung trong một hệ tọa độ như hình bên dưới.

Từ hình vẽ, ta xác định được tọa độ x của giao điểm là 0,85; suy ra nghiệm gần đúng là x = 0,85.

103. Trở lại với đại số trừu tượng! Đại số trừu tượng hiện đại khác như thế nào với đại số cổ điển?

Đại số cổ điển là một khái quát hóa của số học, còn đại số trừu tượng là một nghiên cứu của các cấu trúc đại số.

Các cấu trúc đại số còn được gọi là các hệ thống đại số.

104. Nói cho chính xác thì một hệ thống đại số là gì?

Một hệ thống đại số là một TẬP HỢP những đối tượng gọi là phần tử, cùng với một hoặc nhiều toán tử để kết hợp chúng.

105. Một TẬP HỢP có nghĩa là gì?

Một tập hợp là một nhóm những đối tượng được xác định rõ.

Các phần tử của một tập hợp được ngăn cách nhau bởi dấu phẩy và được viết bên trong cặp ngoặc nhọn.

Ví dụ, tập hợp gồm năm số tự nhiên đầu tiên được viết là A = {1, 2, 3, 4, 5}, trong đó A là tên đặt cho tập hợp.

Các tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái viết hoa A, B, C, X,...

Các phần tử thường được kí hiệu bằng các chữ cái viết thường a, b, c,..., x, y, z.

106. Một toán tử có nghĩa là gì?

Một quy tắc kết hợp hai phần tử được gọi là một toán tử.

Phép cộng và phép nhân là ví dụ quen thuộc nhất của toán tử.

107. Cái gì có thể làm các phần tử và toán tử của một tập hợp?

Các phần tử không nhất thiết là những con số, và toán tử không nhất thiết là các phép tính số học.

Khi các toán tử không nhất thiết là phép cộng và phép nhân, chúng được kí hiệu bởi kí tự 0 và *, đọc là không và sao. o là kí tự đầu tiên của ngôn ngữ toán tử.

108. Các hệ thống đại số được sử dụng thường nhất là gì?

Các hệ thống đại số được sử dụng thường nhất là NHÓM, VÀNH, MIỀN NGUYÊN, TRƯỜNG và KHÔNG GIAN VECTOR.

Sự phân loại phụ thuộc vào các tiên đề được thỏa mãn dưới toán tử hoặc những toán tử nhất định đã được định nghĩa cho các phần tử của tập hợp.

109. Tính đóng có nghĩa là gì?

Tính chất nổi bật có chung cho mọi toán tử là toán tử áp dụng cho hai phần tử bất kì của tập hợp tạo ra một phần tử cũng thuộc tập hợp đó. Tính chất này được gọi là tính đóng và hệ được người ta nói là đóng dưới toán tử đó.

Ví dụ, xét tập hợp các số nguyên

I = {...., - 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3,...},

trong đó các dấu chấm chấm có nghĩa là còn chuỗi số nguyên dương và nguyên âm kéo dài đến vô hạn ở cả hai phía.

Tập hợp số nguyên được nói là đóng dưới phép cộng và phép nhân, vì tổng của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, và tích của hai số nguyên bất kì cũng là một số nguyên.

Nói theo ngôn ngữ kí hiệu, nếu a và b là hai phần tử của một tập hợp, thì để thỏa mãn tính đóng, phần tử a o b cũng phải là một phần tử thuộc tập hợp đó.

Kí hiệu o cho toán tử là chung chung ở chỗ nó có thể là phép cộng, phép nhân, hoặc bất kì toán tử nào khác.

110. Tính kết hợp là gì?

Nếu a, b, c là các phần tử thuộc một tập hợp, thì kết hợp được cho đúng nếu

a o (b o c) = (a o b) o c

Dấu ngoặc ở đây đơn giản có nghĩa là các phần tử bên trong chúng được ưu tiên xử lí trước.

Ví dụ, nếu toán tử o là kí hiệu cho phép cộng, và các phần tử là số, thì các số trong ngoặc phải được cộng trước.

Như vậy 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4, nghĩa là

2 + 7 = 5 + 4 phải đúng.

111. NHÓM là gì?

Một tập hợp G gồm các phần tử a, b, c,..., trên đó một toán tử o được định nghĩa, được nói là tạo thành một NHÓM đối với toán tử đó nếu các tính chất sau đây đúng cho mọi a, b, c,... thuộc G:

(i)                  a o b thuộc tập G (tính đóng).

(ii)                a o (b o c) = a o (b o c) (tính kết hợp).

(iii)               Tồn tại một phần tử đặc biệt, gọi là phần tử đồng nhất e thuộc tập G sao cho e o a = a với mọi a thuộc G (tồn tại phần tử đồng nhất).

(iv)              Với mọi phần tử a thuộc G, tồn tại một phần tử a^-1 thuộc G sao cho a o a^-1 = e (tồn tại phần tử đối nghịch).

112. Tập hợp các số nguyên với phép cộng có tạo thành một nhóm hay không?

Ở đây toán tử o kí hiệu cho phép cộng bình thường, tức là +.

(i)                  Vì tổng của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, nên tính đóng được thỏa mãn.

(ii)                Ba số nguyên a, b, c bất kì cộng lại theo hai dãy phối hợp cho tổng bằng nhau nên quy tắc kết hợp được thỏa mãn.

(iii)               Phần tử đồng nhất đối với phép cộng là 0, tức là số không, cho nên a + 0 = a là một phát biểu đúng cho mọi số nguyên a.

(iv)              Mỗi phần tử a có một phần tử đối là – a, nó cũng là một số nguyên. Ví dụ, đối của 2 là – 2, và 2 + (- 2) = 0, trong đó 0 là phần tử đồng nhất.

Như vậy, tập hợp các số nguyên thỏa mãn cả bốn tính chất nên nó tạo thành một nhóm đối với phép cộng.

113. Các số nguyên có tạo thành một nhóm đối với phép nhân hay không?

(v)                Tích của hai số nguyên bất kì là một số nguyên, do đó tính đóng được thỏa mãn.

(vi)              Ba số nguyên a, b, c bất kì nhân theo hai dãy phối hợp cho tích bằng nhau nên quy tắc kết hợp được thỏa mãn.

(vii)             Phần tử đồng nhất đối với phép nhân là 1, nó là một số nguyên, cho nên tính chất thứ ba cũng được thỏa mãn.

(viii)           Tính chất thứ tư không được thỏa mãn, vì nghịch đảo của một số nguyên không phải là một số nguyên mà là một phân số (ngoại lệ khi số nguyên đó là 1 hoặc - 1).

Lấy ví dụ, 2 × ½ = 1, cho nên nghịch đảo của số nguyên 2 là phân số ½ và không phải là số nguyên.

Vì một trong bốn yêu cầu của một nhóm không được thỏa mãn, nên các số nguyên không tạo thành một nhóm đối với phép nhân.

114. Nhóm Abel là gì?

Một nhóm G được nói là nhóm Abel hay nhóm giao hoán, nếu có thêm tính giao hoán của toán tử cũng được thỏa mãn, tức là a o b = b o a với mọi a, b thuộc G.

Các số nguyên đối với phép cộng tạo thành một nhóm Abel, vì a + b = b + a là đúng với mọi số nguyên.

Sự giao hoán hàm ý rằng trật tự của các phần tử trong toán tử không gây ra sự khác biệt.

Vì 2 + 3 = 3 + 2, và tính chất này đúng với hai số nguyên bất kì, nên phép cộng được nói là có tính giao hoán đối với tập hợp các số nguyên.

115. Những thực thể nào có thể là các “phần tử” của một nhóm và những loại toán tử nào có thể được định nghĩa trên chúng?

Các phần tử của một nhóm có thể là các con số như trong số học, hoặc các điểm như trong hình học. Chúng có thể là các phép biến đổi như trong đại số hoặc hình học, hoặc bất cứ cái gì.

Toán tử có thể là phép cộng và phép nhân như trong đại số. Nó có thể là một phép quay xung quanh một điểm hoặc một trục như trong hình học. Nó có thể là bất kì quy tắc nào kết hợp hai phần tử thuộc một tập hợp để tạo ra một phần tử thứ ba thuộc tập hợp đó, như trong trường hợp hai phép biến đổi áp dụng liên tiếp cho ta một phép biến đổi thứ ba.

116. Cái gì đã dẫn tới lí thuyết nhóm?

Ban đầu, lí thuyết nhóm được phát triển để khảo sát vì sao một số phương trình bậc cao hơn bốn có thể giải được nghiên cứu khai căn còn những phương trình khác thì không giải được như thế.

Trong lúc tìm tòi như thế, lần đầu tiên người ta quan sát thấy sự đối xứng của các nghiệm của phương trình là cái cơ bản cho phép giải cả bài toán.

Sau này, lí thuyết nhóm được dùng làm một công cụ để nghiên cứu những cái cân đối quan trọng, ví dụ như các đối xứng, của thế giới thực tế.

117. Nghiên cứu các đối xứng như thế nhằm mục đích gì?

Khảo sát các đối xứng đa dạng có thể dẫn tới những hiểu biết sâu sắc không thể nào có được bằng cách suy biện trực tiếp.

Lí thuyết nhóm giúp làm sáng tỏ các đối xứng, thành ra giúp người ta hiểu sâu hơn các hiện tượng khác nhau.

118. Lí thuyết nhóm còn được áp dụng ở đâu?

Nó được áp dụng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong hình học, tinh thể học, vật lí học, hóa học, sinh học phân tử, và lí thuyết không gian và thời gian, nơi các quy luật đối xứng có một vai trò quan trọng.

119. Đẳng cấu là gì?

Cái cũng có khả năng xảy ra là hai nhóm với các loại phần tử và toán tử khá khác nhau nhưng về cơ bản lại giống nhau theo một ý nghĩa trừu tượng nào đó.

Ví dụ, xét nhóm {I, R, R¹} của phép quay của một tam giác đều lần lượt qua 0^o, 120^o, 240^o, và nhóm {1, w, w²} của căn bậc ba của đơn vị đối với phép nhân.

Sau đây là bảng nhân cho hai nhóm:

	I	R	R’			1	w	w2
I	I	R	R’		1	1	w	w2
R	R	R’	I		w	w	w2	1
R’	R’	I	R		w2	w2	1	w

Bảng thứ nhất cho biết rằng:

Các phần tử thuộc hàng trên cùng, khi nhân với I cho I, R, R’; khi nhân với R cho R, R’, I; khi nhân với R’ cho R’, I, R.

Tương tự cho bảng thứ hai.

Bạn có thể thấy rằng bảng thứ nhất trở nên giống hệt với bảng thứ hai nếu I, R, R’ được thay tương ứng bởi 1, w, w².

Hai nhóm thể hiện một sự tương ứng một-một giữa các phần tử tương ứng, và tích của chúng, được gọi là đẳng cấu với nhau.

Hai nhóm đẳng cấu được nói là giống hệt về mặt trừu tượng.

120. Mục đích là gì nếu hai nhóm khác nhau được biết có cấu trúc giống nhau?

Nếu hai nhóm được biết có cấu trúc giống nhau, thì người ta nghiên cứu nhóm quen thuộc và sau đó áp dụng kết quả cho nhóm kia.

Như vậy, lí thuyết nhóm làm sáng tỏ sự đồng nhất ẩn sau những khác biệt biểu kiến, và mở ra hướng khai thác thông tin mà nếu không có nó thì không thể đạt tới.

121. Lí thuyết nhóm được phân chia thành một vài ngành nhỏ như thế nào?

Các phương pháp và các khái niệm của lí thuyết nhóm tỏ ra cực kì quan trọng không những cho nghiên cứu các quy luật đối xứng mà còn cho việc giải nhiều bài toán khác.

Vì mỗi lĩnh vực ứng dụng có những bài toán riêng đặc thù của nó, cho nên số lượng tăng dần của những lĩnh vực này đòi hỏi người ta sáng tạo ra những ngành mới của lí thuyết nhóm thích hợp cho những chủ đề và những ngữ cảnh khác nhau.

Do đó, lí thuyết nhóm, đó là một thực thể khi xét theo những khái niệm căn bản của nó, phân chia thành một số ngành ít nhiều độc lập nhau.

122. Những ngành phân chia này là gì?

Một số ngành được kể ra như sau:

Lí thuyết nhóm đại cương,

Lí thuyết nhóm hữu hạn,

Lí thuyết nhóm liên tục,

Lí thuyết nhóm rời rạc,

Lí thuyết biểu diễn và đặc trưng của nhóm.

123. VÀNH là gì?

Một vành là một hệ với hai toán tử.

Một tập hợp R của các phần tử trên đó hai toán tử + và . (gọi là phép cộng và phép nhân) được định nghĩa, được gọi là một vành nếu:

(i)                  Phép cộng thỏa mãn tính đóng, tính kết hợp và tính giao hoán.

(ii)                R chứa số đối cho mỗi phần tử và đồng thời chứa phần tử đồng nhất zero.

(iii)               Phép nhân thỏa mãn tính đóng và tính kết hợp, và được phân phối đối với phép cộng, tức là a.(b + c) = a.b + a.c, và (b + c).a = b.a + c.a đối với mọi a, b, c thuộc R.

Tóm lại, một vành

(1)    Tạo thành một nhóm giao hoán đối với phép cộng, và

(2)    Toán tử gọi là phép nhân phải thỏa mãn tính đóng, tính phân phối và kết hợp.

124. Nêu một ví dụ quen thuộc của vành?

Dưới phép cộng và phép nhân các số nguyên, thì tập hợp các số nguyên là một vành.

125. Vành giao hoán là gì?

Nếu toán tử gọi là phép nhân còn có tính giao hoán, tức là a.b = b.a đúng cho mọi phần tử, thì vành đó được gọi là vành giao hoán.

126. Nhưng phép nhân chẳng phải luôn giao hoán đó sao?

Không. Không phải luôn luôn.

Kiến thức phổ thông là 4 × 5 = 5 × 4, tức là a × b = b × a.

Nhưng tính chất này chỉ đúng với các hệ quen thuộc như tập hợp số nguyên, phân số, số hữu tỉ, vân vân.

Có những hệ trong đó tính chất này không đúng.

Các vector và ma trận là thí dụ điển hình.

127. Vector là gì?

Một đoạn thẳng bất kì được gán chiều được gọi là một vector.

Như vậy, một đoạn thẳng từ O đến P là một vector, nó có độ dài là OP và có chiều từ O đến P.

Lực và vận tốc là ví dụ của các đại lượng vector.

Tổng vector là một tổng hiểu theo nghĩa sau đây:

128. Trong trường hợp nào tích của hai vector là không giao hoán?

Với các vector, người ta định nghĩa hai loại tích.

Một được gọi là tích vô hướng, hay tích chấm. Nó có tính giao hoán nên với hai vector a và b bất kì, ta có a.b = b.a.

Loại thứ hai được gọi là tích vector, hay tích chéo. Nó không có tính giao hoán, vì với hai vector a và b bất kì, ta có (a × b) = - (b × a).

129. Ma trận là gì?

Một sắp xếp của các con số theo dạng hình chữ nhật được gọi là một ma trận.

là một ma trận có 2 hàng và 3 cột, và được gọi là một ma trận cấp 2 × 3.

Một ma trận có m hàng và n cột được gọi là một ma trận m × n (đọc là ma trânh m nhân n).

130. Trong trường hợp nào tích của hai ma trận là không giao hoán?

Tích của hai ma trận thường là không giao hoán.

131. Lí thuyết ma trận được áp dụng ở đâu?

Ma trận có ích lợi lớn trong nhiều ngành toán học cao cấp, ví dụ như các phương trình đại số và phương trình vi phân, thiên văn học, cơ học, lí thuyết mạch điện, cơ học lượng tử, vật lí hạt nhân và khí động lực học.

132. Thế nào là một MIỀN NGUYÊN?

Một vành giao hoán được gọi là một miền nguyên, nếu

(i)                  Nó có phần tử đơn vị.

(ii)                Nó không có ước số zero.

133. Ước số zero nghĩa là gì?

Nói ước số zero có nghĩa là các phần tử khác không a, b sao cho tích của chúng ab = 0.

Một ví dụ của những ước số như thế là trong cái gọi là modulo số học n.

Với một số nguyên n cho trước, người ta thu được các số như thế bằng cách chỉ sử dụng các số nguyên 0, 1, 2,..., n – 1.

Phép cộng và phép nhân được định nghĩa là số dư sau khi chia cho n của tổng và tích ban đầu của hai số nguyên bất kì của hệ.

Ví dụ, nếu n = 6 thì

2 + 4 ≡ 0, 2 + 5 ≡ 1, 3 + 5 ≡ 2, bởi vì

2 + 4 tức là 6, chia 6 cho số dư 0,

2 + 5 tức là 7, chia 6 cho số dư 1,

và 3 + 5 tức là 8, chia 6 cho số dư 2.

Tương tự, 2 × 3 ≡ 0, 4 × 5 ≡ 2.

2 và 3 được gọi là ước số zero của hệ gọi là “các số nguyên modulo 6”, bởi vì tích của chúng đồng dư với 0, nhưng 2 và 3 đều khác không.

Kí hiệu ≡ đọc là “đồng dư với”.

Nếu n là số nguyên tố thì không có ước số zero nào.

134. Trong một hệ thống toán học nhất định, 2 × 2 = 2 × 5. Hệ đó được gọi là gì?

Hệ đó được gọi là “các số nguyên modulo 6”, trong đó 4 đồng dư với 10, modulo 6,

Hay 4 ≡ 10 (mod 6).